Materi Matriks Kelas 11
Pdf Modul Matematika Matriks Garry Garry Academia Edu
Makalah Matematika (Matriks) (kelas 11)
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
1.2 Rumusan Masalah
1) Apakah pengertian dari matriks
2) Menjelaskan macam-maca matriks
3) Apakah yang dimaksud dengan invers matriks
4) Apakah yang dimaksud dengan determinan matriks
5) Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-) pada matriks
6) Sifat-sifat perkalian pada matriks
1.1 Tujuan
1) Untuk mengetahui pengertian matriks
2) Untuk mengetahui macam-macam matriks
3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks
4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
5) Untuk mengetahui operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks
6) Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian pada matriks
BAB II
PENGERTIAN MATRIKS
2.1 Pengertian Matriks
Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.
Contoh :
Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau di tulis A(3×4).
Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
BAB III
MACAM-MACAM MATRIKS
3.1 Berdasarkan Ordo
- Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )
- Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
Contoh : A = 3
5
7
- Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
Contah : B= 2 5
7 6
4 6
- Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.
Contoh :
3.2 Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya
· Matriks Nol
Adalah matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol
Contoh :
- Matriks Segi Tiga Atas Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol
matriks yang tidak punya aturan – aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya adalah bebas).
Contoh – contoh :
· Matriks Segitiga Bawah Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
- Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama. Simak contoh di bawah ini
- Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .
Contoh :
BAB IV
TRASPOSE MATRIKS
4.1 Pengertian Transpose Matriks
Transpose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengubah baris menjadi kolom matriks mula – mula, atau sebaliknya.
Transpose matriks A dinotasikan AT atau At .
BAB V
INVERS MATRIKS
5.1 Pengertian Invers Matriks
Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi :
Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A
5.2 Contoh-Contoh Invers Matriks
Contoh 1 :
Hitung invers matriks A2×2 berikut A = .
Penyelesaian : Jika kita punya matriks 2×2, misal A = , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus
A-1= B
Cek, apakah AB = BA = I
AB = = = I
BA = = = I
Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.
Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.
Contoh 2 :
Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =
Penyelesaian :
Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.
Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.
- baris kedua : B2 + (-2B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]baris ketiga : B3 + (-B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]
- baris ketiga : B3 + 2B2 [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]
- baris ketiga : B3 x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]
- baris kedua : B2 + 3B3 [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]baris pertama : B1 + (-3B3) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]
- baris pertama : B1 + (-2B2) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]
Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah
A-1 =
BAB VI
DETERMINAN MATRIKS
6.1 Pengertian Determinan Matriks
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2×2
A = untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad – bc
A = – 2 + 3 = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama. Misalkan ada sebuah matriks A3×3A = – 4 + 3 = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8
Bila ada sebuah matriks A3×3
A =
Kofaktor dari matriks A adalahC11 = -12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolomadj(A) =
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik bContoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 – 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A =
kemudian ganti kolom j dengan matrik bA1 = A2 = A3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas maka, Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1,E2,…,Er menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka, R=Er…E2 E1 Adan, det(R)=det(Er)…det(E2)det(E1)det(EA)Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers. Contoh Soal :A=
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix Adet(A) = 64
1+3x2= λx1 4x1+2x2=λx2 dapat ditulis dalam bentuk = λ
yang kemudian dapat diubah A = dan x =
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi λ
λ
sehingga didapat bentuk λ I - A =
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh det (λ I - A) =
= 0
atau λ^2 – 3λ – 10 = 0 dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5 dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I – A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t BAB VII
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
7.1 Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)
Contoh:
7.2 Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
BAB VIII
SIFAT-SIFAT PERKALIAN PADA MATRIKS
8.1 Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )
Contoh:
8.2 Perkalian Matriks dengan Matriks
Beberapa hal yang perlu diperhatikan:
- Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
- Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
- Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana
Contoh
Beberapa Hukum Perkalian Matriks:
- Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
- Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
- Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
- Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
- A = 0 dan B = 0
- A = 0 atau B = 0
- A ¹0 dan B ¹0
- Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
Gallery Materi Matriks Kelas 11
Soal Dan Pembahasan Matriks Determinan Dan Invers
Matriks Operasi Matriks Rumus Contoh Soal Matriks Dan
Soal Matriks Kelas 11 Sma Ma 2020 Dan Kunci Jawabannya
Doc Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Rpp 2013 Xi Matriks
Download Materi Pembelajaran Matriks Pagar Alam Dot Com
Perkalian Skalar Matriks Dan Perkalian Matriks Dengan Ordo
Rpp Determinan Dan Invers Matriks Docx3 Determinan Dan
Soal Matriks Kelas 11 Sma Ma 2020 Dan Kunci Jawabannya
Rumus Perkalian Matriks Dan Perkalian Skalar Matriks
Tentukan Nilai X Dan Y Yang Memenuhi Persamaan Matriks
Mind Map Matriks By Diana Firdaus Bayuningtiyas On Prezi
Doc Lembar Kerja Siswa Lks Materi Matriks Fauzi
Pengembangan Media Pembelajaran Gui Matlab Materi Matriks
Komposisi Transformasi Pengertian Dan Contoh Soal
Soal Dan Pembahasan Matriks Mathtrick1994
Contoh Soal Matriks Kelas 11 2019 Dan Kunci Jawabannya
Rangkuman Contoh Soal Pembahasan Matriks
Web Viewdeterminan Matriks Persegi Ordo 2 Determinan
0 Response to "Materi Matriks Kelas 11"
Post a Comment