Soal Dan Pembahasan Limit

Contoh Soal Limit Trigonometri Terbaru Kelas 11 12

Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Versi HOTS/Olimpiade)

Berikut ini admin sajikan soal dan pembahasan tentang limit fungsi aljabar dan trigonometri, tetapi tipe soalnya HOTS dan olimpiade sehingga akan jauh lebih menantang. Semoga bermanfaat dan tetap semangat belajar!

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Aljabar

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Trigonometri

Quote by Nelson Mandela

Pendidikan adalah senjata paling mematikan di dunia, karena dengan pendidikan, Anda dapat mengubah dunia.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1 Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}- 2}} = \cdots \cdot$ A. $18$ D. $248$ B. $48$ E. $768$ C. $128$

Substitusi langsung $x = 4$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan sekaligus metode pemfaktoran, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x}- \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x}- \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \times \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{3\sqrt{x}- 2}}{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(x^3-64)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{x-(3\sqrt{x}-2)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x} + 2)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x}-1)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(\sqrt{x} + 2)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{\sqrt{x}-1} \\ = & \dfrac{(\sqrt{4} + 2)(4^2+4(4)+16)(\sqrt{4} + \sqrt{3\sqrt{4}-2})}{\sqrt{4}-1} \\ = & \dfrac{(2+2)(16+16+16)(2+2)}{2-1} \\ = & 4 \times 48 \times 4 = 768 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x}- \sqrt{3\sqrt{x}- 2}} = 768}$ (Jawaban E)

Baca: Soal dan Pembahasan- Limit Euler

Soal Nomor 2 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + a\sqrt{x} + b}{x-4} = 5$, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$ A. $-20$ C. $-4$ E. $12$ B. $-8$ D. $6$

Dengan menggunakan dalil L’Hospital, kita dapat menentukan persamaan yang melibatkan $a$ dan $b$ pada bentuk limit tersebut, dengan syarat substitusi langsung $x = 4$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Ini berarti, $\dfrac{4^2 + a\sqrt{4} + b}{4- 4} = \dfrac{2a + b + 16}{0} = \dfrac{0}{0}$. Jadi, diperoleh persamaan $2a + b =-16$. Selanjutnya, terapkan dalil L’Hospital (turunkan terhadap variabel $x$) $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + a\sqrt{x} + b}{x-4} & = 5 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 4} \dfrac{2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}a}{1} & = 5 \\ 2(4) + \dfrac{1}{2\sqrt{4}}a & = 5 \\ 8 + \dfrac{1}{4}a & = 5 \\ a & = (5-8) \times 4 =-12 \end{aligned}$ Substitusi $a =-12$ pada persamaan $2a + b =-16$. $2(-12) + b =-16 \Leftrightarrow b = 8$ Jadi, nilai $\boxed{a + b =-12 + 8 =-4}$

Soal Nomor 3 Jika $\displaystyle \lim_{x \to b} \dfrac{4-\sqrt{a(x+b)}} {b-x} = b$ dengan $a < 0, b < 0$, maka nilai $a-b=\cdots \cdot$ A. $-9$ C. $-5$ E. $9$ B. $-7$ D. $7$

Bentuk limit di atas dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil L’Hospital, namun syaratnya ketika $x = b$ disubstitusikan menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Pada penyebut, jelas substitusi menghasilkan $0$ Pada pembilang, $\begin{aligned} 4- \sqrt{a(x+b)} & = 0 \\ 4-\sqrt{a(b+b)} & = 0 \\-\sqrt{2ab} & =-4 \\ ab & = 8 && (\bigstar) \end{aligned}$ Terapkan Dalil L’Hospital dengan cara menurunkan masing-masing pembilang dan penyebut terhadap variabel $x$. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to b} \dfrac{4- \sqrt{a(x+b)}} {b-x} & = b \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to b} \dfrac{-\frac{1}{2}a(a(x+b))^{-\frac{1}{2}}} {-1} & = b \\ \text{Substitusi}~x = b & \\ \dfrac{a} {2\sqrt{a(b+b)}} & = b \\ a & = 2b\sqrt{2ab} \\ a^2 & = 4b^2 \cdot 2ab \\ a^2 & = 8ab^3 \\ a(a- 8b^3) & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $a = 0$ (tidak memenuhi karena diberikan bahwa $a < 0$) atau $a = 8b^3$. Substitusi $a = 8b^3$ pada $\bigstar$, $\begin{aligned} ab & = 8 \\ (8b^3)b & = 8 \\ b^4 & = 1 \end{aligned}$ Diperoleh $b = 1$ (tidak memenuhi karena diberikan bahwa $b < 0$) atau $b =-1$ (memenuhi). Untuk $b =-1$, diperoleh $a = 8b^3 = 8(-1)^3 =-8$. Jadi, $\boxed{a-b=-8-(-1)=-7}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 4 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)} {x^2} = 1$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \cdots \cdot$ A. $\text{tak ada}$ D. $\frac{1}{2}$ B. $0$ E. $2$ C. $1$

Perhatikan bentuk $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)} {x^2} = 1$. Karena memiliki nilai limit berhingga, maka substitusi langsung $x = 0$ harus menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Ini mengimplikasikan $\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = 1$ sehingga mengharuskan $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 5 Jika $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)-3g(x)] = 2$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} [3f(x) + g(x)] = 1$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ C. $\dfrac14$ E. $1$ B. $-\dfrac14$ D. $\dfrac12$

Dengan menggunakan sifat dasar limit, persamaan $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)-3g(x)] = 2$ dapat kita tuliskan menjadi $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)- 3 \lim_{x \to a} g(x) = 2$ dan persamaan $\displaystyle \lim_{x \to a} [3f(x) + g(x)] = 1$ dapat kita tuliskan menjadi $\displaystyle 3 \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = 1$ Sekarang, misalkan $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = m$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = n$, sehingga terbentuk SPLDV: $\begin{cases} m-3n = 2 \\ 3m + n = 1 \end{cases}$ Selesaikan dengan metode gabungan. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} m- 3n & = 2 \\ 3m + n & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} m-3n&=2 \\~9m+3n & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 10m & = 5 \\ m & = \dfrac{5}{10} = \dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$ Untuk $m = \dfrac12$, diperoleh: $\begin{aligned} 3m + n & = 1 \\ n & = 1- 3m \\ & = 1-3\left(\dfrac12\right) \\ & =-\dfrac12 \end{aligned}$ Ini berarti, $m = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \dfrac12$ dan $n = \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) =-\dfrac12$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) & = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac12\right) =-\dfrac14 \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) =-\dfrac14}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 6 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {x} = \dfrac12$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x}-1} = \cdots \cdot$ A. $-4$ C. $-1$ E. $4$ B. $-2$ D. $2$

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh $\begin{aligned}& \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x}-1}\\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x}-1} \times \dfrac{\sqrt{1-x} +1}{\sqrt{1-x} +1} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)(\sqrt{1-x} +1)} {(1-x)-1} \\ & =- \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)(\sqrt{1-x} +1)} {x} \\ & =-\lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {x} \times \lim_{x \to 0} (\sqrt{1-x} +1) \\ & =-\dfrac12 \times (\sqrt{1-0}+1) \\ & =-1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x}-1} =-1}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 7 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\frac13Ax^3 + \frac12Bx^2-3x} {x^3-2x^2-9x+16} = \dfrac{3}{10}$, maka nilai dari $40A + 30B = \cdots \cdot$ A. $99$ C. $45$ E. $16$ B. $81$ D. $32$

Dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\frac13Ax^3 + \frac12Bx^2-3x} {x^3-2x^2-9x+16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac13A(2)^3 + \frac12B(2)^2-3(2)} {(2)^3-2(2)^2-9(2)+16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac83A + 2B-6}{8- 8-18 + 16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac83 A + 2B- 6}{-2} \times \color{red}{\dfrac{-5}{-5}} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{-\frac{40}{3}A-10B + 30}{\cancel{10}} & = \dfrac{3}{\cancel{10}} \\-\frac{40}{3}A-10B + 30 & = 3 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&(-3) \\ 40A + 30B-90 & =-9 \\ 40A + 30B & = 81 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{40A+30B = 81}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 8 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}}-\sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}-\sqrt{11x^2- 2\sqrt{x}}} = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac58$ D. $\dfrac58$ B. $\dfrac38$ E. $\dfrac34$ C. $-\dfrac38$

Gunakan metode pengalian akar sekawan dua kali. Kalikan fungsinya dengan $\dfrac{\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} + \sqrt{11x^2- 2\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} + \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}}}$, sehingga didapat $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}}- \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})(\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}})} {(7x^2+2\sqrt{x})-(11x^2-2\sqrt{x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}}- \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})(\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}})} {-4x^2+4\sqrt{x}} \end{aligned}$$Selanjutnya, kalikan fungsinya dengan $\dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}}$ sehingga didapat $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(-2x^2+2\sqrt{x})} (\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}) + \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}})} {\cancelto{2}{(-4x^2+4\sqrt{x})} (\sqrt{(3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})}\\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}+ \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}}}{2(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})}\\ & =\dfrac{\sqrt{7(1)^2 + 2\sqrt{1}} + \sqrt{11(1)^2-2\sqrt{1}}} {2(\sqrt{3(1)^2 + \sqrt{1}} + \sqrt{5(1)^2-\sqrt1}} \\ & = \dfrac{3 + 3}{2(2+2)} = \dfrac68 = \dfrac34 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}}-\sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}- \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}}} = \dfrac34}$ (Jawaban E)

Soal Nomor 9 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} = b$, maka nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $a^{-\frac{1}{2}}$ D. $a^{\frac{1}{2}}$ B. $a^{-\frac{1}{4}}$ E. $a$ C. $a^{\frac{1}{4}}$

Tinjau $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} = b$. Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, didapat $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} & \times \color{red}{ \dfrac{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}} = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}{(a+x)-(a-x)} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x}(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}{2\cancel{x}} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}{2} & = b \\ \dfrac{\sqrt{a+0} + \sqrt{a-0}}{2} & = b \\ 2\sqrt{a} & = 2b \\ a^{\frac{1}{2}} & = b \end{aligned}$$Selanjutnya, tinjau $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x}$ Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x} \times \color{blue}{\dfrac{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}}{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{(b+x)-(b-x)}{x(\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x})} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{2\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x})} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}} \\ = & \dfrac{2}{\sqrt{b+0} + \sqrt{b-0}} \\ = & \dfrac{2}{2\sqrt{b}} = \dfrac{1}{\sqrt{b}} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $b = a^{\frac{1}{2}}$ $\dfrac{1}{\sqrt{b}} = b^{-\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}} = a^{-\frac{1}{4}}$ Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}- \sqrt{b-x}}{x} = a^{-\frac{1}{4}}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 10 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2}{x-1} = A$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2x}{x^2+2x-3} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac14(A+2)$ D. $\dfrac12(A-2)$ B. $\dfrac14(A-2)$ E. $A-2$ C. $\dfrac12(A+2)$

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2}{x-1} = A$ Dengan menggunakan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2x}{x^2+2x-3} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2-2x + 2}{(x+3)(x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x+3} \cdot \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2}{x-1}-\dfrac{2x-2}{x-1}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x+3} \cdot \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2}{x-1}- \dfrac{2\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}}\right) \\ & = \dfrac{1}{1+3} \cdot (A-2) \\ & = \dfrac{1}{4}(A-2) \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2x}{x^2+2x-3} = \dfrac14(A-2)}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 11 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax^2+b}- 8}{x- 2} = A$ untuk suatu $A \in \mathbb{R}$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b}-2x}{x^2+x-2} = \cdots \cdot$ A. $-2A$ C. $0$ E. $2A$ B. $-A$ D. $A$

Dari persamaan $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax^2+b}-8}{x-2} = A$, kita ketahui bahwa limitnya ada, sehingga substitusi $x = 2$ pada bentuk $\dfrac{\sqrt{ax^2+b}- 8}{x- 2}$ seharusnya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00$, ditulis $\dfrac{\sqrt{a(2)^2+b}-8}{2-2} = \dfrac{\sqrt{4a+b}-8}{0} = \dfrac00$ Jadi, diperoleh persamaan $\begin{aligned} \sqrt{4a+b}-8 & = 0 \\ \sqrt{4a+b} & = 8 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ 4a+b & = 64 \end{aligned}$ Sekarang, dapat kita tulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b}-2x}{x^2+x-2} & = \dfrac{\sqrt[3]{a(2)^2+b}-2(2)}{(2)^2+2-2} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{4a+b}-4}{4} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{64}-4}{4} \\ & = \dfrac{4-4}{4} = 0 \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b}-2x}{x^2+x-2} = 0}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 12 Jika $\displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{(|t|-1)^2-(|a|-1)^2}{t^2-a^2} = M$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{(|a|-1)^4-(|t|-1)^4}{t-a} = \cdots \cdot$ A. $2M(|a|-1)^2$ B. $-2M(|a|-1)^2$ C. $-4aM(|a|-1)^2$ D. $4aM(|a|-1)^2$ E. $M(|a|-1)^2$

Gunakan sifat pemfaktoran berikut. $\boxed{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$ Kita mulai dari bentuk limit yang ditanya, lalu kita arahkan supaya muncul bentuk limit yang diketahui. $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{(|a|-1)^4-(|t|-1)^4}{t-a} \\ & = \lim_{t \to a} \dfrac{\left[(|a|-1)^2-(|t|-1)^2\right] \cdot \left[(|a|-1)^2+(|t|-1)^2\right]}{(t-a)(t+a)} \cdot (t+a) \\ & = -\lim_{t \to a} \dfrac{(|t|-1)^2-(|a|-1)^2}{t^2-a^2} \cdot \lim_{t \to a} \left[(\color{red}{t}+a) \cdot ((|a|-1)^2+(|\color{red}{t}|-1)^2)\right] \\ & = -M \cdot (\color{red}{a}+a)((|a|-1)^2+(|\color{red}{a}|-1)^2) \\ & = -M \cdot (2a) \cdot 2(|a|-1)^2 \\ & = -4aM(|a|-1)^2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{(|a|-1)^4-(|t|-1)^4}{t-a} = -4aM(|a|-1)^2}$$(Jawaban C)

Soal Nomor 13 Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-x-b} {2-x} = a$, maka nilai $b-a = \cdots \cdot$ A. $-5$ C. $-1$ E. $5$ B. $-3$ D. $2$

Karena fungsi $\dfrac{x^2-x-b} {2-x}$ memiliki nilai limit untuk $x$ mendekati $2$, maka substitusi langsung $x = 2$ harus menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$, sehingga ditulis $\dfrac{(2)^2-2-b} {2-2} = \dfrac{2-b} {2-2} = \dfrac{0}{0}$ Dengan demikian, diperoleh $b = 2$. Selanjutnya, dapat ditentukan nilai $a$ sebagai berikut. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-x-2}{2-x} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+1)} {-\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+1}{-1} \\ & =-(2+1) =-3 \end{aligned}$ Diperoleh nilai $a =-3$ Jadi, hasil dari $\boxed{b-a=2-(-3)=5}$ (Jawaban E)

Soal Nomor 14 Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{px+q}-2} = 8$, nilai dari $3p-5q = \cdots \cdot$ A. $-6$ C. $0$ E. $6$ B. $-4$ D. $4$

Agar fungsi tersebut memiliki nilai limit ketika $x$ mendekati $2$, substitusi $x=2$ harus membuat nilai fungsinya menjadi $\dfrac00$ (bentuk tak tentu). Pada pembilang, jelas $(2)^2-4 = 0$. Pada penyebut, $\sqrt{2p+q}-2 = 0 \Rightarrow 2p+q = 4$ Selanjutnya, dengan menggunakan Dalil L’Hospital pada bentuk limitnya, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{px+q}-2} & = 8 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 2} \dfrac{2x}{\dfrac{p}{2\sqrt{px+q}}} & = 8 \\ \dfrac{2(2)}{\dfrac{p}{2\sqrt{2p+q}}} & = 8 \\ 4(2\sqrt{2p+q}) & = 8p \\ \text{Substitusi}~& 2p+q=4 \\ 4(2\sqrt{4})&=8p \\ p & = 2 \end{aligned}$ Untuk itu, $2p+q= 4 \Rightarrow 2(2)+q=4 \Leftrightarrow q=0$. Jadi, $\boxed{3p-5q=3(2)-5(0) = 6}$ (Jawaban E)

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Tak Hingga

Soal Nomor 15 Diketahui $f(x) = 3x-p$ untuk $x \leq 2$ dan $f(x) = 2x+1$ untuk $x > 2$. Agar $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ memiliki nilai, maka $p = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $5$ B. $2$ D. $4$

Agar $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ memiliki nilai, maka limit kiri dan limit kanannya harus sama. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) & = \lim_{x \to 2^+} f(x) \\ \lim_{x \to 2} (3x-p) & = \lim_{x \to 2} (2x+1) \\ 3(2)-p & = 2(2)+1 \\ 6-p & = 5 \\ p & = 1 \end{aligned}$ Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{1}$ (Jawaban A)

Baca: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Soal Nomor 16 Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1}-1} = \cdots \cdot$ A. $9$ C. $3$ E. $0$ B. $4$ D. $2$

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1}-1} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^4\left(5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}\right)}}{\sqrt{x^2+1}-1} \times \color{blue}{\dfrac{\sqrt{x^2+1} + 1}{\sqrt{x^2+1} + 1}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{(x^2 + 1)-1} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{x^2} \times \color{red}{\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{1} \\ = & \sqrt{5(0) + 4} \cdot (\sqrt{0^2+1} + 1) \\ = & \sqrt{4}(\sqrt{1}+1) = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1}-1} = 4}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 17

Jika $f(x) = \sin^2 3x$, maka $\displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+2p)-f(x)}{2p} = \cdots \cdot$ A. $2 \cos 3x$ D. $6 \sin 3x \cos 3x$ B. $2 \sin 3x$ E. $6 \cos^2 x$ C. $6 \sin^2 x$

Dengan menggunakan Dalil L’Hospital, akan ditentukan nilai limitnya sebagai berikut. Ingat bahwa turunannya terhadap variabel $p$, sehingga $x$ dianggap sebagai konstanta. $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+2p)-f(x)}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{\sin^2 3(x+2p)-\sin^2 3x}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{6 \sin^2 3(x+2p) \cos 3(x+2p)-0}{2} \\ & = 6 \sin^2 3(x + 0) \cos 3(x + 0) \\ & = 3 \sin 3x \cos 3x \end{aligned}$ Jadi, nilai dari limitnya adalah $\boxed{3 \sin 3x \cos 3x}$

Soal Nomor 18 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan (\pi x-\pi)-(x^2-1)} {(4-4x) + \sin 2(\pi x-\pi)}} = \cdots \cdot$ A. 1 D. $\sqrt{2}$ B. $\frac12$ E. $\sqrt{\pi-2}$ C. $\frac12\sqrt{2}$

Misalkan $y = x-1$. Untuk $x \to 1$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, limit di atas dapat ditulis kembali menjadi $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan \pi(x-1)-(x+1)(x-1)} {-4(x-1) + \sin 2\pi(x-1)}} \\ & = \sqrt{\lim_{y \to 0} \dfrac{\tan \pi y- (y+2)y} {-4y + \sin 2\pi y}} \\ & = \sqrt{\lim_{y \to 0} \dfrac{\frac{\tan \pi y} {y}-\frac{(y+2)y} {y}} {\frac{-4y} {y} + \frac{\sin 2\pi y} {y} }} \\ & = \sqrt{\dfrac{\pi-(0 + 2)} {-4 + 2\pi}} \\ & = \sqrt{\dfrac{\cancel{\pi-2}}{2\cancel{(\pi-2)}}} \\ & = \sqrt{\dfrac12} = \dfrac12\sqrt{2} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan (\pi x-\pi)- (x^2-1)} {(4-4x) + \sin 2(\pi x-\pi)}} = \dfrac12\sqrt{2}}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 19 Nilai $a+b$ yang memenuhi persamaan limit $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{ax \sin x + b} = 1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $-\dfrac12$ E. $\dfrac12$ B. $-1$ D. $0$

Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{ax \sin x + b} = 1$. Karena limitnya ada, maka substitusi $x = 0$ pada fungsi seharusnya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Kita tuliskan: $\begin{aligned} \dfrac{\cos 0-1}{a(0) \sin 0 + b} & = \dfrac00 \\ \dfrac{1-1}{0 + b} & = \dfrac00 \\ \dfrac{0}{0+b} & = \dfrac00 \end{aligned}$ Kita peroleh $b = 0$ agar persamaan terpenuhi. Sekarang, persamaan limitnya dapat ditulis menjadi $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{ax \sin x } = 1$ Dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan $(\cos x + 1)$, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{ax \sin x } \color{red}{\dfrac{\cos x + 1}{\cos x + 1}} & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos^2 x-1}{ax \sin x(\cos x +1)} & = 1 \\ -\dfrac{1}{a} \lim_{x \to 0} \dfrac{\color{blue}{\sin^2 x}}{x \sin x(\cos x + 1)} & = 1 \\ -\dfrac{1}{a} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos x + 1} & = 1 \\ -\dfrac{1}{a} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\cos 0 + 1} & = 1 \\ -\dfrac{1}{2a} & = 1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned}$$Catatan: $\color{blue}{\sin^2 x = 1-\cos^2 x}$ Jadi, nilai $\boxed{a+b=-\dfrac12+0=-\dfrac12}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 20 Sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $r$ ditutup oleh setengah lingkaran seperti gambar berikut. Jika $D$ adalah luas segitiga $AOB$ dan $E$ adalah luas setengah lingkaran tersebut, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{E}{D} = \cdots \cdot$ A. $2\pi$ D. $\dfrac{\pi}{3}$ B. $\pi$ E. $\dfrac{\pi}{6}$ C. $\dfrac{\pi}{2}$

Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada segitiga $AOB$ ditinjau dari titik $O$, diperoleh $$\begin{aligned} |AB|^2 & = |AO|^2+|BO|^2-2 \cdot |AO| \cdot |BO| \cos t \\ & = r^2+r^2-2(r)(r) \cos t \\ & = \color{red}{2r^2(1-\cos t)} \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran tersebut adalah $\begin{aligned} E & = \dfrac12 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac12 |AB|\right)^2 \\ & = \dfrac12 \pi \left(\dfrac{\color{red}{2r^2(1-\cos t)}}{4}\right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \cdot r^2(1-\cos t) \end{aligned}$ Luas segitiga sama sisi $AOB$ dapat ditentukan dengan Aturan Luas Segitiga Trigonometri, yaitu $\begin{aligned} D & = \dfrac12 \cdot AO \cdot BO \cdot \sin t \\ & = \dfrac12 \cdot r \cdot r \cdot \sin t \\ & = \dfrac12r^2 \sin t \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{E}{D} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\dfrac{\pi}{8} \cdot \cancel{r^2}(1-\cos t)}{\dfrac12 \cdot \cancel{r^2} \sin t} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos t}{\sin t} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos t}{\sin t} \color{blue}{\times \dfrac{1+\cos t}{1+\cos t}} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos^2 t}{\sin t(1+\cos t)} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cancelto{\sin t}{\sin^2 t}}{\cancel{\sin t}(1+\cos t)} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin t}{1+\cos t} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2}}{1+\cos \dfrac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{1}{0+1} = \dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari limit itu adalah $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{E}{D} = \dfrac{\pi}{2}}$ (Jawaban C)

Bagian Uraian

Soal Nomor 1 Tentukan nilai $a$ agar $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{x^3+(3-a)x-3a}{x-a}$ ada dan berhingga.

Agar limit dari suatu fungsi ada dan berhingga, substitusi titik limitnya harus menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Pada penyebut, jelas bahwa jika $x = a$, maka $x- a = a-a = 0$. Tinjau pembilang fungsi tersebut. $\begin{aligned} x^3 + (3-a)x-3a & = 0 \\ \text{Substitusi}~x = a & \\ a^3 + (3-a)a-3a & = 0 \\ a^3-a^2 & = 0 \\ a^2(a- 1) & = 0 \end{aligned}$ Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $a = 0$ atau $a = 1$. Jadi, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{0}$ atau $\boxed{1}$

Soal Nomor 2 Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} =-2$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} = 10$. Jika $f(x)$ adalah fungsi berderajat $3$ yang memenuhi kedua limit tersebut, tentukanlah rumus fungsi $f(x)$.

Misalkan $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, a \neq 0$. Gunakan dalil L’Hospital pada $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} =-2$ dengan syarat $f(1) = 0$, yaitu $\begin{aligned} & a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d \\ & = a + b + c + d = 0 \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} & =-2 \\ \lim_{x \to 1} f'(x) & =-2 \\ \lim_{x \to 1} (3ax^2 + 2bx + c) & =-2 \\ 3a(1)^2 + 2b(1) + c & =-2 \\ 3a + 2b + c & =-2 \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan dalil L’Hospital pada $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} = 10$ dengan syarat $f(3) = 0$, yaitu $\begin{aligned} & a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d \\ & = 27a + 9b + 3c + d = 0 \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} & = 10 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 3} f'(x) & = 10 \\ \lim_{x \to 3} (3ax^2 + 2bx + c) & = 10 \\ 3a(3)^2 + 2b(3) + c & = 10 \\ 27a + 6b + c & = 10 \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh SPLEV berikut. $\begin{cases} a+b+c+d=0 \\ 3a+2b+c=-2 \\ 27a+9b+3c+d=0 \\ 27a+6b+c=10 \end{cases}$ Selesaikan sistem di atas sehingga didapat $a = 2, b =-9, c = 10$, dan $d =-3$ Jadi, rumus fungsi $f$ adalah $\boxed{f(x) = 2x^3-9x^2 + 10x-3}$

Soal Nomor 3 Tentukan hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2}$.

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Misalkan $y = \sqrt[3]{x}$. Ini berarti $y^3 = x$. Untuk $x$ mendekati $1$, nilai $y$ juga mendekati $1$. Dengan demikian, bentuk limit di atas ekuivalen dengan bentuk berikut. Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran. $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2} & = \lim_{y \to 1} \dfrac{y^2-2y + 1}{(y^3-1)^2} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{\cancel{(y-1)^2}}{\cancel{(y-1)^2}(y^2+y+1)^2} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{1}{(y^2+y+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(1^2 + 1 + 1)^2} \\ & = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2}- 2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2} = \dfrac{1}{9}}$

Soal Nomor 4 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x-\pi) \cos^2 x} {\pi(\pi-2x) \tan (x-\frac{\pi} {2})}$.

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut. $\boxed{\begin{aligned} & \cos \theta = \sin \left(\dfrac{\pi} {2}-\theta\right) \\ & \cos^2 \theta = \sin^2 \left(\theta- \dfrac{\pi} {2}\right) \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\tan bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}$ Dengan demikian, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x-\pi) \cos^2 x} {\pi(\pi-2x) \tan (x-\frac{\pi} {2})} \\ &= \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x-\pi) \sin^2 \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} {-2\pi\left(x-\frac{\pi} {2}\right) \tan (x-\frac{\pi} {2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \left(\dfrac{4(x-\pi)} {-2\pi} \cdot \dfrac{\sin \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} {\left(x-\frac{\pi} {2}\right)} \cdot \dfrac{\sin \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} {\tan \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} \right) \\ & = \dfrac{4\left(\frac{\pi} {2}-\pi\right)} {-2\pi} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{-2\pi} {-2\pi} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x-\pi) \cos^2 x} {\pi(\pi-2x) \tan (x-\frac{\pi} {2})}$ adalah $\boxed{1}$

Soal Nomor 5 Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di $x = 1$. $f(x) = \begin{cases} (x-1)^2 \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right), & x \neq 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$

Fungsi tersebut akan kontinu di $x = 1$ apabila $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1$ Sekarang, perhatikan bahwa untuk setiap $x \neq 1$, berlaku $$\begin{aligned} &-1 \leq \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq 1 \\ &-(x-1)^2 \leq (x-1)^2 \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq (x-1)^2 \\ &-(x-1)^2 \leq f(x) \leq (x-1)^2 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 1}-(x-1)^2 = \lim_{x \to 1}-(x-1)^2 = 0$ sehingga menurut Teorema Apit dalam konsep limit berlaku $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0$. Ternyata kita peroleh bahwa $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$. Dengan demikian, $f$ tidak kontinu di $x = 1$.

Soal Nomor 6 Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}}$.

Alternatif I: Dengan menggunakan teorema limit trigonometri, $\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} = 1}$, dan perhatikan bahwa $x \sin \dfrac{1}{x}$ akan bernilai $0$ apabila $x \to 0$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin a} {a} = 0$. Alternatif II: Perhatikan bahwa $\begin{aligned} &-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1 \\ &-x \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq x \\ & 0 \leq \lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} \leq 0 \end{aligned}$ Dengan menggunakan Teorema Apit, dapat disimpulkan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = 0$.

Soal Nomor 7 Tentukan nilai $a$ agar fungsi $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin (ax)} {x}, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ mempunyai limit di $x = 0$.

Agar $f$ memiliki limit di $x = 0$, haruslah berlaku $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ Ekspresi pada ruas kiri persamaan di atas memberikan $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (ax)} {x} = a$ Ekspresi pada ruas kanan persamaan di atas memberikan $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1$ Dapat disimpulkan bahwa agar $f$ memiliki limit di $x = 0$, nilai $a$ haruslah $\boxed{1}$.

Soal Nomor 8 Tentukan nilai $k$ agar fungsi $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\tan (kx)} {x}, & x < 0 \\ 3x + 2k^2, & x \geq 0 \end{cases}$ kontinu di $x = 0$.

Agar $f$ kontinu di $x = 0$, haruslah berlaku $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ Untuk itu, dapat ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0^+} f(x) \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan (kx)} {x} & = \lim_{x \to 0} (3x+2k^2) \\ k & = 3(0) + 2k^2 \\ k & = 2k^2 \\ k(2k-1) & = 0 \end{aligned}$ Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $k = 0$ atau $k = \dfrac{1}{2}$. Jadi, agar $f$ kontinu di $x=0$, haruslah $\boxed{k \in \left\{0,\dfrac{1}{2}\right\}}$

Soal Nomor 9 Tentukan nilai $a$ dan $b$ sehingga $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a + \cos (bx)} {x^2} =-2$.

Perhatikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx))$ haruslah bernilai $0$ sebab jika hal ini tidak terjadi (katakanlah $\displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) = c \neq 0$), maka akan berakibat $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a + \cos (bx)} {x^2} = \dfrac{c} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = \infty$ Jadi, kita dapat menuliskan $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) & = 0 \\ a + \cos (0b) & = 0 \\ a + 1 & = 0 \\ a & =-1 \end{aligned}$ Karena sekarang bentuk limitnya menjadi $\dfrac{0}{0}$ saat substitusi $x = 0$, maka berlaku Dalil L’Hospital, sehingga diperoleh $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b \sin (bx) } {2x} =-2$ Terapkan dalil tersebut sekali lagi untuk memperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b^2 \cos (bx) } {2} & =-2 \\ \dfrac{-b^2 \cos (0b)} {2} & =-2 \\-b^2 & =-4 \\ b & = \pm 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{a =1}$ dan $\boxed{b=\pm 2}$

Soal Nomor 10 Diketahui fungsi $f(x) = \begin{cases} 5x+1, x \geq 0 \\ \dfrac{\cos 3x-\cos kx} {6x^2}, x < 0 \end{cases}$ Tentukan nilai $k$ agar limit fungsi $f(x)$ memiliki nilai saat $x$ mendekati $0$.

Nilai limit kiri dari fungsi $f$ untuk $x$ mendekati 0 adalah sebagai berikut. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0} (5x+1) \\ & = 5(0) + 1 = 1 \end{aligned}$ Agar limit fungsi $f(x)$ memiliki nilai saat $x$ mendekati $0$, maka haruslah $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 3x- \cos kx} {6x^2} & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin \frac{1}{2}(3x + kx) \sin \frac{1}{2}(3x-kx)} {6x^2} & = 1 \\ \dfrac{-2}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \frac{3+k}{2}x \sin \frac{3-k} {2}x} {x \cdot x} & = 1 \\-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3+k} {2} \cdot \dfrac{3-k} {2}& = 1 \\ \dfrac{-(3+k) (3-k)} {12} & = 1 \\ k^2-9 & = 12 \\ k^2 & = 21 \\ k& = \pm \sqrt{21} \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ yang dimaksud adalah $\boxed{k = \pm \sqrt{21}}$