Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Di Luar

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Tujuan PembelajaranKompetensi Dasar :- Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan masalah.Standar Kompetensi :Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat :- merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b).- menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui.- menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu.- menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran.- menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.

Pengertian Irisan Kerucut

Menurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan hiperbola. Ilmuwan lain yang mempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat dan Rene Descartes.MateriA. Persamaan Lingkaran1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka

OP =√OP’)2+(PP’)2Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = yr = √x2+y2r2 = x2 + y2 x2 + y2 = r2

Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :

AP = √(AP’)2 + (PP’)2r2 = √(x – a)2 + (y – b)2r2 = (x – a)2 + (y – b)2(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :

Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :(x – a)2 + (y – b)2 = r2

B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan LingkaranBentuk baku persamaan lingkaran :● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r :L ≡ x2+y2 = r2● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r :L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :

Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalahL ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :

L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)atauAx2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0

2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran

Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalahL ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C 4 4 4 4L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C 4 4 4 4

Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :

● Pusat lingkaran di (-A) B● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C 4 4

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r

Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut :1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1 x12. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennyamg = -1 = -1 = -x1 Mop y1 y13. Persamaan garis singgung g :y – y1 = mg (x – x1)

y – y1 = x1 (x – x1)

y1y1y – y12 = - x1x + x12x1x + y1y = x12 + y12x1x + y1y = r2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus :

x1x + y1y = r2

• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r

Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut

1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b x1 - a2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalahmg = -1 = - x1 - a Map - y1 - b 3. Persamaan garis singgung g adalah :y – y1 = mg (x – x1)y – y1 = - x1 - a - y1 - a(y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1)y1y – y12 – by + b y1 = – (x1x – ax – x12 + ax1)x1x – ax – x12 + ax1 + y1y – y12 – by + b y1 = 0x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = x12 + y12 ......(*)Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka berlaku :(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2substitusi x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 ke (*), diperoleh :x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2(x1x – ax + ax1 – 2ax1 + a2) + (y1y – by + b y1 – 2by1 – b2) = r2(x1x – ax – ax1 + a2) + (y1y – by – b y1 + b2) = r2(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui

● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :x2 + (mx + n)2 = r2x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2(1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalah

D = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2)D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2)D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2D = 4 (m2r2 – n2 + r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0.

4 (m2r2 – n2 + r2) = 0m2r2 – n2 + r2 = 0n2 = r2 (1 + m2)n = ± r √1 + m2

Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien m adalah

y = mx ± r √1 + m2

● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r

1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :(x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0(1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah

D = {– 2(a – mn + bm)}2 – 4 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)D = 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 04(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0(a – mn + bm) 2 – (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0a2 + m2n2 + b2m2 – 2amn + 2abm – 2bm2n – a2 – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 – m2n2 – b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0– 2amn + 2abm – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 + m2r2 = 02amn – 2abm + n2 + b2 – 2bn – r2 + a2m2 – m2r2 = 0(n2 + a2m2 + b2 + 2amn –2bn – 2abm) – r2 (1+ m2) = 0(n + am – b)2 = r2 (1+ m2)(n + am – b) = r √1 + m2n = (–am + b) ± r√1 + m24. Substitusi n = (–am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperolehy = mx + (–am + b) ± r √1 + m2(y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah

(y – b) = m(x – a) ± r√1 + m2

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar Lingkaran

Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.Langkah 1.Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1

Langkah 2.

Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung.

Langkah 3.

Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m.Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.

Contoh :

Persamaan Lingkaran

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)

Penyelesaian :Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalahr = √(-3)2 + 52 = √34r2 = 34Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2x2 + y2 = 34Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalahL ≡ x2 + y2 = 34

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)

Penyelesaian :Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25Persamaan lingkarannya :(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0Penyelesaian :L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik (-3,2)Penyelesaian :Titik (-3,2); x1 = -3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13 -3x + 2y = 13

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2)

Penyelesaian :Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 254x – 12 + 3y – 34 = 254x + 3y – 34 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyai gradien 3.

Penyelesaian :Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2y = 3x ± 4√10y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m = 3 adalahy = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12

Penyelesaian :Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x – 1) ± 3√(1 + (5/12)2(y + 2) = 5/12(x – 1) ± 39/12 12y + 24 = 5x – 5 ± 395x – 12y – 29 ± 39 = 05x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 adalah5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0

Mutiara Ismi (060479)

Siti Muslihah (060481)

Noviana Maria (050155)