Limit Tak Hingga Akar

Qnawithkakiwe Hash Tags Deskgram

Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Limit Tak Hingga

Berikut ini merupakan soal tentang limit tak hingga. Soal-soal tersebut diambil dari berbagai sumber referensi, termasuk dari soal Ujian Nasional, soal SBMPTN, dan soal tingkat olimpiade. Pembaca diharapkan sudah menguasai teori limit fungsi aljabar dan trigonometri. Setiap soal telah disertai pembahasan super lengkap yang disajikan secara rapi menggunakan LaTeX.

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Aljabar

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Trigonometri

Beberapa teorema berikut sering kali digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait limit tak hingga.

Teorema Limit Tak Hingga

Keterhubungan Tak Hingga dan Nol $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ untuk $n \geq 1$

Ketakterhinggaan Fungsi Rasional Berbentuk Polinomial Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi polinomial, maka $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \begin{cases} 0, &~\text{jika derajat}~f(x) < g(x) \\ \dfrac{\text{Koef. derajat}~f(x)}{\text{Koef. derajat}~g(x)}, &~\text{jika derajat}~f(x) = g(x) \\ \infty, &~\text{jika derajat}~f(x) > g(x) \end{cases} \end{aligned}$$

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Linear dalam Tanda Akar $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b}- \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\-\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}$$Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kuadrat dalam Tanda Akar $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}) \\ & = \begin{cases} \infty,~\text{jika}~a > p \\ \dfrac{b-q} {2\sqrt{a}},~\text{jika}~ a = p \\-\infty,~\text{jika}~a < p \end{cases} \end{aligned}$

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kubik dalam Tanda Akar

$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}) = \dfrac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$$

Today Quote

Berdoalah sebelum belajar, sebab semua ilmu di dunia ini asalnya dari Tuhan.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4- 4x^2 + 9}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\infty$ C. $\infty$ E. $2$ B. $0$ D. $1$

Pendekatan formal: $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4-4x^2 + 9} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{3x^2}{x^4}-\dfrac{5x} {x^4}+\dfrac{4}{x^4}}{\dfrac{2x^4}{x^4}- \dfrac{4x^2}{x^4} + \dfrac{9} {x^4}} \\ & = \dfrac{0-0-0+0}{2-0+0} = 0 \end{aligned}$ Pendekatan lain: Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ < derajat penyebut = $4$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{0}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 2 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\infty$ C. $-\infty$ E. $\dfrac{1}{2}$ B. $0$ D. $2$

Pendekatan formal: Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^3$. $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{7}{x^3}} {\dfrac{x^2}{x^3}+\dfrac{3x} {x^3}+\dfrac{4}{x^3}} = \infty \end{aligned}$$Pendekatan lain: Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ > derajat penyebut = $2$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{\infty}$. Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} = \infty}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 3 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $-2$ E. $\infty$ B. $-3$ D. $0$

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{(3-x)(x+5)} {x+5}+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x + 15-\cancel{x^2}-5x)+(\cancel{x^2}-2x)}{x+5} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-4x + 15}{x + 5} = \dfrac{-4}{1} =-4 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) =-4}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 4 Jika $f(x) = x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}$, maka $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $1$ E. $\infty$ B. $0$ D. $2$

Diketahui bahwa $\dfrac{f(x)} {x} = \dfrac{x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}} {x} = 1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}$ Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\dfrac{x} {x}} {\sqrt{\dfrac{x^2-2x} {x^2}}}\right) \\ & = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x}$ adalah $\boxed{2}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 5 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt{15}$ D. $3$ B. $3(\sqrt{2}-1)$ E. $4,5$ C. $3(\sqrt{2}+1)$

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. $\begin{aligned}& \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}\\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}\sqrt{18x^2-x+1}- \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+2x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}} {x^2}- \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{\sqrt{x^2+2x}} {x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18-0+0}- 3}{\sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18}-3}{1} = 3\sqrt{2}-3 = 3(\sqrt{2}- 1) \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}} = 3(\sqrt{2}-1)}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 6 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}- \sqrt{x + \sqrt{x}})$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0,5$ C. $-1$ E. tak ada B. $1$ D. $0$

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}-\sqrt{x + \sqrt{x}}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}-\sqrt{x + \sqrt{x}}) \times \dfrac{\sqrt{x-\sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x- \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-\sqrt{x})-(x+\sqrt{x})} {\sqrt{x-\sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & =\lim_{x \to \infty} \dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x-\sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \end{aligned}$$Bagi setiap sukunya dengan $\sqrt{x}$. $\displaystyle \begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x-\sqrt{x}}} {\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}} {\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{-2}{1+1} =-1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}-\sqrt{x + \sqrt{x}}) =-1}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 7

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac14$ C. $0$ E. $\dfrac12$ B. $-\dfrac12$ D. $\dfrac14$

Kalikan dengan bentuk sekawannya, $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) \\ & = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) \times \dfrac{\sqrt{x^2+1} + x} {\sqrt{x^2+1} + x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x(x^2+1-x^2)} {\sqrt{x^2+1}+x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} \end{aligned}$ Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. $\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}+\dfrac{x} {x} } \\ & = \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1+0} + 1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) = \dfrac{1}{2}}$ (Jawaban E)

Soal Nomor 8 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-$ $\sqrt{x^4+2x^3-x^2})$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $1$ E. $\dfrac{5}{2}$ B. $\dfrac{1}{2}$ D. $\dfrac{3}{2}$

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & \times \dfrac{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^4+2x^3+4x^2)-(x^4+2x^3-x^2)} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^2}{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & \text{Bagi setiap suku dengan}~x^2 \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5x^2}{x^2}} {\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{4x^2}{x^4}}+\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}-\dfrac{x^2}{x^4}}} \\ & = \dfrac{5}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0-0}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{5}{2}}$ (Jawaban E)

Soal Nomor 9 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-$ $\sqrt{9x^2-7x-4})$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $1$ E. $3$ B. $\dfrac{1}{3}$ D. $2$

Gunakan rumus $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$Untuk kasus ini, diketahui bahwa $a = 9, b = 5, p =-7$ Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) \\ & = \dfrac{5-(-7)} {2\sqrt{9}} = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 10 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1-\sqrt{9x^2+4x-7})$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9$ C. $3$ E. $\dfrac{1}{9}$ B. $6$ D. $\dfrac{1}{3}$

Perhatikan bahwa $3x+1 = \sqrt{(3x+1)^2} = \sqrt{9x^2+6x+1}$ diberlakukan karena $x$ menuju tak hingga (nilainya dipastikan positif). Untuk itu, dengan menggunakan rumus $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$(Diketahui: $a = 9, b = 6, p = 4$) diperoleh $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1)-\sqrt{9x^2+4x-7}) = \dfrac{6-4}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 11 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-x+2)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ C. $2,5$ E. $1$ B. $3,5$ D. $1,5$

Perhatikan bahwa bentuk $-x+2$ dapat ditulis menjadi $-(x-2) =-\sqrt{(x-2)^2} =-\sqrt{x^2-4x+4}$ Dengan demikian, diperoleh $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4})$ Gunakan rumus $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$untuk $a = 1, b = 3, p =-4$, sehingga diperoleh $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4}) \\ & = \dfrac{3-(-4)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{7}{2} = 3,5 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{3,5}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 12 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)}-$ $(x\sqrt{2}+1))$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3\sqrt{2}-4$ B. $\dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1$ C. $\dfrac{3}{4}-\sqrt{2}$ D. $3-2\sqrt{2}$ E. $\sqrt{2}-1$

Dengan menggunakan sifat khusus limit tak hingga dengan bentuk: $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}) \\ & = \begin{cases} \infty,~\text{jika}~a > p \\ \dfrac{b-q} {2\sqrt{a}},~\text{jika}~ a = p \\-\infty,~\text{jika}~a < p \end{cases} \end{aligned}$ diperoleh

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)}-(x\sqrt{2}+1)) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{2x^2+3x-2}- \sqrt{2x^2})-1) \\ & = \dfrac{3-0}{2\sqrt{2}}-1 \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt{2}}-1 \\ & = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1 \end{aligned}$

Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)}- (x\sqrt{2}+1)) = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1}$$(Jawaban B)

Soal Nomor 13

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)}-x]$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{a+b}{2}$ D. $\dfrac{2}{a+b}$ B. $\dfrac{a-b}{2}$ E. $\dfrac{a+b}{a-b}$ C. $\dfrac{ab}{2}$

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)}-x] \\ & = \lim_{x \to \infty} [\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab}-\sqrt{x^2}] \\ & = \dfrac{(a+b)-0}{2\sqrt{1}} = \dfrac{a+b} {2} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)}- x] = \dfrac{a+b} {2}}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 14 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ C. $-1$ E. $\infty$ B. $0$ D. $-2$

Dengan menggunakan salah satu sifat akar: $\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt b}$ dan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \sqrt{[(4x + 1)+(x- 6)] + 2\sqrt{(4x+1)(x-6)}} \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x+1} + \sqrt{x-6}) \\ & = \infty \end{aligned}$$Penjelasan pada langkah terakhir: Karena $x$ nilainya menuju tak hingga, maka $\sqrt{4x+1}$ akan membesar nilainya, begitu juga dengan $\sqrt{x-6}$, sehingga bila dijumlahkan keduanya, hasilnya akan tak hingga. (Jawaban E)

Soal Nomor 15 Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}-3\right) $ $= \cdots \cdot$ A. $\dfrac{10}{3}$ D. $\dfrac{5}{3}\sqrt{2}$ B. $-\dfrac{10}{3}$ E. $-\dfrac{5}{3}\sqrt{2}$ C. $\dfrac{5}{3}$

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}- 3\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}-3\right) \times \dfrac{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cdot \left(9+ \dfrac{10}{x}-3^2\right)}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2 \cdot 10}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \dfrac{20}{\sqrt{9+0} + 3} = \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}-3\right) = \dfrac{10}{3}}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 16

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}-2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}$ $= \cdots \cdot$ A. $-\infty$ C. $0$ E. $1$ B. $-\dfrac12\sqrt2$ D. $\dfrac12\sqrt2$

Perhatikan bahwa bentuk $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}- 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}$ dapat dinyatakan sebagai $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(\dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}-2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}\right)^2}$ Dengan demikian, diperoleh $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{(x^2-4x + 4)(x + 2 + \sqrt{4x})}{(\sqrt{2}x^{\frac32}-2x^{\frac12} + 2\sqrt{2})^2}}$ Tinjau hanya pada variabel berpangkat tertingginya. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x^3 + \cdots}{2x^3 + \cdots}}$ Bagi setiap suku dengan $x^3$, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{\dfrac{x^3}{x^3} + \cdots}{\dfrac{2x^3}{x^3} + \cdots}}$ Gunakan sifat limit tak hingga untuk memperoleh $\sqrt{\dfrac{1 + 0}{2 + 0}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}-2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 17 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $\dfrac13$ E. $\dfrac16$ B. $\dfrac12$ D. $\dfrac14$

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} \times \dfrac{\frac{1}{3^{x+2}}} {\frac{1}{3^{x+2}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac13 + \frac{2^x} {3^{x+2}}-\dfrac{3}{3^{x+2}}} {1-\frac{2^{x-1}}{3^{x+2}} + \dfrac{4}{3^{x+2}}} \\ & = \dfrac{\frac13 + 0-0}{1-0 + 0} = \dfrac13 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} = \dfrac13}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 18 (Soal SBMPTN Tahun 2017) Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x}- \sqrt{4^x-2^x}\right) = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $-\dfrac12$ E. $\dfrac14$ B. $-1$ D. $\dfrac12$

Faktorkan $2^x$ keluar dari akar, $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x}- \sqrt{4^x-2^x}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x\left(1 + \left(\dfrac38\right)^x\right)}- \sqrt{4^x\left(1- \left(\dfrac12\right)^x\right)}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(2^x \sqrt[3]{1 + \left(\dfrac38\right)^x}- 2^x \sqrt{1- \left(\dfrac12\right)^x}\right) \end{aligned}$$Selanjutnya, dengan menggunakan Aproksimasi (Pendekatan) Binomial, diperoleh $$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \left(2^x \left(1 + \dfrac13\left(\dfrac38\right)^x\right)-2^x \left(1-\dfrac12\left(\dfrac12\right)^x\right)\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\cancel{2^x} + \dfrac13\left(\dfrac68\right)^x-\cancel{2^x} + \dfrac12\right) \\ & = \dfrac13(0) + \dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x}- \sqrt{4^x-2^x}\right) = \dfrac12}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 19 Hasil dari $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) = \cdots \cdot$$ A. $\infty$ C. $1$ E. $\dfrac14$ B. $2$ D. $\dfrac12$

Sederhanakan rumus fungsinya terlebih dahulu dengan memanfaatkan rumus pemfaktoran $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dan konsep teleskopik. $$\begin{aligned} & \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) \\ & = \left(1-\dfrac12\right)\left(1+\dfrac12\right) \left(1-\dfrac13\right)\left(1+\dfrac13\right) \\ & \left(1-\dfrac14\right)\left(1+\dfrac14\right) \cdots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \\ & = \dfrac12 \cdot \cancel{\dfrac32 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac54 \cdots \dfrac{n-1}{n}} \cdot \dfrac{n+1}{n} \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{n+1}{2n} \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2n}{n}} \\ & = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\\ & \left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) = \dfrac12 \end{aligned}}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 20 Nilai dari $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}} = \cdots \cdot$$ A. $\dfrac14$ C. $1$ E. $3$ B. $\dfrac12$ D. $2$

Gunakan sifat limit tak hingga khusus. $$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q})= \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}) = \dfrac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}} \end{aligned}}$$Dengan demikian, kita peroleh $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}}\\ & = \dfrac{\dfrac{12-(-24)}{2\sqrt9}}{\dfrac{8-(-1)}{3\sqrt[3]{1^2}}} = \dfrac{\dfrac{36}{6}}{\dfrac{9}{3}} = \dfrac{6}{3} = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}} = 2}$$(Jawaban D)

Soal Nomor 21

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $4$ E. $\infty$ B. $3$ D. $5$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) & = \lim_{y \to 0} \left(\dfrac{3}{y} + \sin y \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{3}{y} + \lim_{y \to 0} \sin y \\ & = \infty + 0 = \infty \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) = \infty}$ (Jawaban E)

Soal Nomor 22

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $\infty$ B. $1$ D. $3$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) & = \lim_{y \to 0} (2 + \cos 4y) \\ & = 2 + \cos 0 = 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) = 3}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 23

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x}-x\right)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\infty$ C. $1$ E. $\infty$ B. $0$ D. $2$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x}-x\right) & = \lim_{y \to 0} \left(\tan y-\dfrac{1}{y} \right) \\ & = \tan 0- \infty =-\infty \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x}- x\right) =-\infty}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 24

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{4 \pi} {3}\right)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\infty$ C. $\dfrac12\sqrt2$ E. $1$ B. $0$ D. $\dfrac12\sqrt3$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{4 \pi} {3}\right) & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y- \dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = \sin \left(0-\dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & =-\sin 240^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{4 \pi} {3}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 25

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{6 \pi} {7}\right)-5x\right)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\infty$ C. $0$ E. $\infty$ B. $-1$ D. $1$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga dapat ditulis $\begin{aligned} & \left(\sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{6 \pi} {7}\right)-5x\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \left(\sin \left(y-\dfrac{6 \pi}{7}\right)-\dfrac{5}{y}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y-\dfrac{6 \pi}{7}\right)- \lim_{y \to 0} \dfrac{5}{y} \\ & =-\sin \dfrac{6 \pi}{7}-\infty =-\infty \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{6 \pi} {7}\right)-5x\right) =-\infty}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 26

Nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2\sqrt6$ E. $\infty$ B. $\sqrt6$ D. $5\sqrt6$

Misalkan $x = \dfrac{1}{\sqrt{y}}$, ekuivalen dengan $\sqrt{y} = \dfrac{1}{x}$. Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{6}} {x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x} {x} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 3x \\ & = 5 \cdot \sqrt{6} \cos 0 \\ & = 5\sqrt{6} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} = 5\sqrt{6}}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 27

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac13$ C. $\dfrac43$ E. $\infty$ B. $\dfrac23$ D. $\dfrac83$

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos 4y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 2y)} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \sin 2y \sin 2y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 2y} {y} \cdot \dfrac{\sin 2y} {\tan 3y} \\ & = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} = \dfrac{8}{3}}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 28

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $12$ E. $36$ B. $6$ D. $18$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Untuk itu, dapat ditulis $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1-\cos 6y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1- \cos 6y) \times \dfrac{1+\cos 6y} {1+\cos 6y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 6y} {y^2(1 + \cos 6y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{1}{1+\cos 6y} \\ & = 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{1+ \cos 0} = 36 \cdot \dfrac12 = 18 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) = 18}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 29

Nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2-5}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\infty$ C. $1$ E. $\text{tak ada}$ B. $0$ D. $\infty$

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2-5} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta + \sqrt{5}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta-\sqrt{5}} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1-\dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \\ & = (0 \times 1 \times 0 \times 1) = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2-5} = 0}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 30 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 165) Nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$

Misalkan $x= \dfrac{1}{y}$. Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \sin 3x \cdot \cos 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x} {x} \cdot \cos 5x \\ & = 3 \cdot \cos 0 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\boxed{3}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 31 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 166) Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $1$ E. $3$ B. $\dfrac{2}{3}$ D. $\dfrac{3}{2}$

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {(1-\cos 2y) \cdot \left(\dfrac{1}{y}\right)^2 \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y \cdot y^2}{(1-(1-2 \sin^2 y)) \cdot \sin y} \\ & = \dfrac12 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\sin y} \cdot \dfrac{y}{\sin y} \cdot \dfrac{y}{\sin y} \\ & = \dfrac12 \times 3 \times 1 \times 1 = \dfrac32 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} = \dfrac32}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 32 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 167) Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $\dfrac{1}{3}$ E. $\dfrac{1}{5}$ B. $\dfrac{1}{2}$ D. $\dfrac{1}{4}$

Misalkan $y= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y^2}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y^2} (1-\cos y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y} {y^2} \times \dfrac{1+\cos y} {1 + \cos y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 y} {y^2(1 + \cos y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos y} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{1 + \cos 0} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \dfrac{1}{2}}$ (Jawaban B) Catatan: Identitas trigonometri yang digunakan adalah $$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \iff 1- \cos^2 x = \sin^2 x}$$

Soal Nomor 33 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 168) Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y} \cdot \tan y \cdot \sec 2y \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan y} {y} \cdot \sec 2y \\ & = 2 \cdot 1 \cdot \sec 0 = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = 2}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 34 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 129) Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right)-x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $0$ E. $-2$ B. $1$ D. $-1$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right)-x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right)^2 \tan y- \dfrac{1}{y} \sin y + y} {\dfrac{1}{y} \cos 2y}\color{red} { \times \dfrac{y}{y}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right) \tan y-\sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \cdot \dfrac{\tan y}{y}- \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \dfrac{2 \cdot 1- \sin 0 + 0^2}{\cos 0} \\ & = \dfrac{2-0}{1} = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right)-x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = 2}$$(Jawaban A)

Soal Nomor 35 Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3) \cos x}{x^3+1} = \cdots \cdot$ A. $-1$ D. tidak ada B. $0$ E. $\infty$ C. $1$

Perhatikan bahwa $-\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\le \dfrac{(x^2-3)\cos x}{x^3+1}\le \dfrac{x^2-3}{x^3+1}$ karena $-1 \le \cos x \leq 1$. Perhatikan juga bahwa $\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\left(-\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\right) & =\lim _{x\to \infty}\left(-\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x^3}}\right) \\ & =-\dfrac{0}{1}=0 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\right) & =\lim _{x\to \infty}\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x^3}}\right) \\ & =\dfrac{0}{1}=0 \end{aligned}$ Dengan menggunakan Teorema Apit, diperoleh $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3) \cos x}{x^3+1}=0}$ (Jawaban B)

Bagian Uraian

Soal Nomor 1 Tentukan nilai dari: a. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2)$ b. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4)$ c. $\displaystyle \lim_{x \to \infty}-(3x^2 + 9)$

Jawaban a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2) = 4(\infty) + 2 = \infty + 2 = \infty$ Jawaban b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4) =-\infty + 4 =-\infty$ Jawaban c) $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty}-(3x^2 + 9) & =-(3(\infty)^2 + 9) \\ & =-(\infty + 9) =-\infty \end{aligned}$

Soal Nomor 2 Tentukan nilai dari limit berikut. a. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3}$ b. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4}$

Jawaban a) Diketahui bahwa variabel derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, yaitu $x^3$. Pada pembilang, koefisien $x^3$ adalah $3$, sedangkan koefisien $x^3$ pada penyebut adalah $-5$. Jadi, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3} =-\dfrac{3}{5}$ Jawaban b) Diketahui variabel berderajat tertinggi pada pembilang adalah $x^5$, sedangkan variabel berderajat tertinggi pada penyebut adalah $x^4$. Karena $5 > 4$, maka $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4} = \infty$

Soal Nomor 3 Tentukan nilai dari limit berikut. a. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)}$ b. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3}$

Uraikan dan tinjau hanya pada variabel berpangkat tertinggi. Jawaban a) $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-8x^3 + \cdots} {2x^3 + \cdots} \\ & = \dfrac{-8}{2} =-4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} =-4}$ Jawaban b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{27x^3 + \cdots} {64x^3 + \cdots} = \dfrac{27}{64}$

Soal Nomor 4 Tentukan nilai dari: a. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3})$ b. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3})$ c. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3})$

Ingat bahwa $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b}- \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\-\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}}$$Jawaban a) Diketahui: $a = 1$ dan $c = 1$, sehingga $a = c$. Berarti, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}) = 0$ Jawaban b) Diketahui: $a = 2$ dan $c = 1$, sehingga $a > c$. Berarti, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3}) = \infty$ Jawaban c) Diketahui: $a = 1$ dan $c = 2$, sehingga $a < c$. Berarti, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3}) =-\infty$

Soal Nomor 5 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5- 5\theta^4}$ (Catatan: Notasi $\pi$ dibaca: pi, sedangkan notasi $\theta$ dibaca: theta)

$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5-5\theta^4} & = \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\cancel{\theta^4}(\pi \theta)}{\cancel{\theta^4}(\theta-5)} \\ & = \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta} {\theta-5} \\ & = \lim_{\theta \to-\infty} \left(\dfrac{\pi(\theta-5)} {\theta-5} + \dfrac{5\pi} {\theta-5}\right) \\ & = \lim_{\theta \to-\infty} \left(\pi + \dfrac{5\pi} {\theta-5}\right) \\ & = \pi-0 = \pi \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5-5\theta^4} = \pi}$ Catatan: Tinjau bentuk $\dfrac{5\pi} {\theta-5}$. Apabila nilai $\theta$ semakin kecil menuju negatif tak hingga, maka penyebutnya juga akan semakin kecil, dan nilai pecahannya akan semakin mendekati $0$.

Soal Nomor 6 Tentukan nilai dari:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{(x+5)(4x+7)}-\sqrt{(x+3)(4x+7)}\right)$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x- \sqrt{x^2-10x })$

Jawaban a) $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)}-\sqrt{(x+3)(4x+7)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 27x + 35}- \sqrt{4x^2+19x+21}) \\ & = \dfrac{27-19}{2\sqrt{4}} = \dfrac{8}{4} = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)}- \sqrt{(x+3)(4x+7)}) = 2}$$Jawaban b) $$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x-\sqrt{x^2-10x }) & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2-10x}) \\ & = \dfrac{0-(-10)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x-\sqrt{x^2-10x }) = 5}$

Soal Nomor 7 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4}$.

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^2$. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{8x^2}{x^4}+\dfrac{1}{x^4}}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{0 + 0}} {1 + 0} = 0 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} = 0}$

Soal Nomor 8 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x})$

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}- \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{x^2 + 2x}-\sqrt{x^2 + 1}) + (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2 + x})) \\ & = \dfrac{2-0}{2\sqrt{1}} + \dfrac{2-1}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac32}$

Soal Nomor 9 Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$.

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} \sqrt{3x^2-2x-1}} {\dfrac{1}{x}\left(x+2.000\right)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{3x^2-2x-1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3-\dfrac{2}{x}- \dfrac{1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3-0-0}} {1 + 0} = \sqrt{3} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$ adalah $\boxed{\sqrt{3}}$

Soal Nomor 10 Tentukan hasil dari $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$.

Alternatif I: Pendekatan Intuitif $$\begin{aligned} \displaystyle & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6}) \\ = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[7] {\left (x+\dfrac17\right)^7+O(x^5)}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17 \right)^7+O(x^5)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{\left(x+\dfrac17\right)^7}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17\right)^7}\right) \\ = &\lim_{x\to\infty}\left(\left(x+\dfrac17\right)- \left(x-\dfrac17\right)\right) \\ = & \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac17 + \dfrac17\right) = \dfrac27 \end{aligned}$$Catatan: Notasi $O(x^5)$ menyatakan polinomial berderajat $5$ yang didapat dari penguraian bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$. Karena $x$ menuju tak hingga, bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$ akan lebih cepat bertambah besar, sehingga $O(x^5)$ dapat diabaikan. Alternatif II: Dalil L’Hospital (Turunan) $$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})\\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{x^7\left(x + \dfrac1x\right)}-\sqrt[7]{x^7\left(x-\dfrac1x\right)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} x\left(\sqrt[7]{1 + \dfrac1x}-\sqrt[7]{1-\dfrac1x}\right) \\ & \text{Misalkan}~x = \dfrac{1}{t} \\ = & \lim_{t \to 0} {{\sqrt[7]{1+t}-\sqrt[7]{1-t}}\over t} \\ \stackrel{\text{L’H}}{=} & \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{7}(1 + t)^{-\frac{6}{7}}(1)- \dfrac{1}{7}(1-t)^{-\frac{6}{7}}(-1)\right) \\ = & \dfrac{1}{7}(1 + 0)^{-\frac{6}{7}} + \dfrac{1}{7}(1- 0)^{-\frac{6}{7}} \\ = & \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} =\dfrac27 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$ adalah $\boxed{\dfrac{2}{7}}$

Soal Nomor 11 Tentukan nilai dari: a. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \tan \dfrac{1}{x}$ b. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x}$ c. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} $

Jawaban a) Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi $\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \tan y = 1$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} x \tan \dfrac{1}{x} = 1}$ Jawaban b) Ingat bahwa: $\boxed{\cot x = \dfrac{1}{\tan x}}$ Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi $\displaystyle \lim_{y \to 0} y \cot y = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\tan y} = 1$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x} = 1}$ Jawaban c) Ingat bahwa: $\boxed{\csc x = \dfrac{1}{\sin x}}$ Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{x}$ Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi $\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{\csc y} {\frac{1}{y}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\sin y} = 1$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} = 1}$

Soal Nomor 12 Tentukan nilai dari: a. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x}$ b. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1}$ c. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}}$

Jawaban a) Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} & = \lim_{y \to 0} \tan 5y \csc 2y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan 5y} {\sin 2y} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} = \dfrac{5}{2}$ Jawaban b) Misalkan $y = x^{-1}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} & = \lim_{y \to 0} \cot 3y \sin y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {\tan 3y} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} = \dfrac{1}{3}}$ Jawaban c) Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2}y} {\csc 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\tan \dfrac{1}{2}y} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2}} = 6 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} = 6}$

Soal Nomor 13 Hitunglah nilai dari limit berikut. a. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}}$ b. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2}$

c. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{(-3)^n}{2^n+1}$

d. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n}$

Jawaban a) Bagi setiap suku dengan $3^{2n}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5^n}{3^{2n}}-\dfrac{10^n}{3^{2n}}}{\dfrac{3^{2n}}{3^{2n}}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\left(\dfrac59\right)^n-\left(\dfrac{10}{9}\right)^n}{1} \\ & = \dfrac{0-\infty}{1} =-\infty \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}}=-\infty}$ Jawaban b) Bagi setiap suku dengan $2^{2n}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{4}{2^{2n}}+\dfrac{2^{2n}}{2^{2n}}}{\dfrac{3^n}{2^{2n}}-\dfrac{2}{2^{2n}}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\cancelto{0}{\dfrac{4}{4^n}} + \color{red}{1}}{\cancelto{0}{\left(\dfrac34\right)^n}-\cancelto{0}{\dfrac{2}{2^{2n}}}} \\ & = \infty \end{aligned}$ Catatan: Penyebut pada bentuk pecahan terakhir bernilai $0$, sehingga nilai limitnya tak hingga, tetapi kita tidak boleh serta merta menuliskan $\dfrac{0+1}{0-0} = \infty$, karena bila demikian, hasilnya justru “tak terdefinisi”, bukan “tak hingga”. Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2} = \infty}$ Jawaban c) Bagi setiap suku dengan $(-3)^n$, lalu gunakan sifat limit tak hingga. $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{(-3)^n}{2^n+1} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{(-3)^n}{(-3)^n}}{\dfrac{2^n}{(-3)^n}+\dfrac{1}{(-3)^n}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(-\dfrac23\right)^n + \dfrac{1}{(-3)^n}} \\ & = \pm \infty \end{aligned}$ Limit di atas tidak ada (does not exist), karena untuk $n = 2k$ (genap) dan $n = 2k+1$ (ganjil), nilai limitnya berbeda. Jawaban d) Bagi setiap suku dengan $7^{n+1}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga. $\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{3^{n+1}}{7^{n+1}}+\dfrac{5^{n+1}}{7^{n+1}}+\dfrac{7^{n+1}}{7^{n+1}}}{\dfrac{3^n}{7^{n+1}} + \dfrac{5^n}{7^{n+1}} + \dfrac{7^n}{7^{n+1}}} \\ & = \dfrac{0+0+1}{0+0+\dfrac17} = 7 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n} = 7}$