Materi Fungsi Kelas 10

Fungsi Invers Oleh H Roni Anshary S Pd Ppt Download

Modul matematika kelas X KD 3.5 kurikulum 2013 revisi 2016 kiki ismay…

1. BAB 3 FUNGSI Kiki Ismayanti PENDAHULUAN Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui mateamtika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya. Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien . Perlu kemampuan berpikir kritis – kreatif untuk menggunakan matematika dalam pemecahan masalah. Melalui latihan pemecahan masalah dalam pengajaran matematika di sekolah ini diharapkan siswa dapat mengembangkan kemampuan memecahkan masalah masalah yang mereka jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, pendekatan pemecahan masalah seyogyanya menjadi bagian dari pengajaran matematika di sekolah. Standar Kompetensi Konsep Fungsi terdiri dari empat (4) Kompetensi Dasar. Dalam penyajian pada buku ini setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah Perbedaan Konsep Relasi dan Fungsi, Konsep Fungsi Linier, dan Konsep Fungsi Kuadrat. Modul ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang
2. dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Sebelum mempelajari standar kompetensi ini diharapkan anda telah menguasai standar kompetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan bilangan real, persamaan dan pertidaksamaan maupun kompetensi yang lain yang dapat menunjang standar kompetensi Konsep Fungsi Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soal- soal yang mudah sampai soal-soal yang sukar. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk memahami materi di atas, Anda dituntut untuk membaca setiap uraian materi dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan latihan dan tes formatif secara disiplin. Dengan mengikuti petunjuk ini, mudah-mudahan mempelajari modul akan menjadi pekerjaan yang menyenangkan bagi Anda dan kesuksesan menanti Anda.
3. BAB 3 FUNGSI 3.1 Konsep Relasi Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah menghubungkan anggota – anggota himpunan A dengan anggota – anggota himpunan B. Cara menyatakan relasi dapat dilakukan dengan diagram panah , diagram cartesius dan pasangan berurut. Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Contoh : 1) Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “ Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan : a) Diagram Panah b) Diagram Cartesius c) Himpunan pasangan berurutan. Penyelesaian : c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),(6, 6)}
4. 2) Dalam rangka memperingati HUT RI ke- 68 di Kabupaten Sorong, SMA Negeri 1 Sorong akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar siswa SMA pada pertandingan tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, dan catur. Terdapat 6 siswa (Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, dan Tono) yang akan mengikuti pertandingan tersebut. Sekolah membuat dua alternatif pilihan dalam menentukan pertandingan yang akan diikuti oleh keenam siswa tersebut. Kedua pilihan itu adalah: 1. Udin ikut pertandingan tenis lapangan dan bola voli, Joko ikut pertandingan badminton, Dayu ikut pertandingan catur, Siti ikut pertandingan bola voli, Beni ikut pertandingan tenis meja, dan Tono ikut pertandingan tenis meja. 2. Dayu dan Siti mengikuti pertandingan bola voli, Joko dan Udin mengikuti pertandingan bola kaki, Tono mengikuti pertandingan tenis meja, dan Beni mengikuti pertandingan catur. Jika pilihan sekolah adalah butir (1), pasangkanlah siswa dengan jenis pertandingan yang akan diikuti menggunakan diagram panah, pasangan terurut, dan diagram kartesius. Penyelesaian : 1) Dengan menggunakan pilihan butir (1), pasangan siswa dengan jenis pertandingan yang dikuti sebagai berikut. a. Dengan diagram panah
5. b. Dengan himpunan pasangan terurut Himpunan pasangan terurut: {(Udin, tenis lapangan), (Udin, bola volley), (Joko, badminton), (Dayu, catur), (Siti, bola volley), (Beni, tenis meja), (Tono, tenis meja)} c. Dengan diagram kartesius Latihan 3.1 Untuk memantapkan pemahaman anda terhadap materi diatas, coba kerjakan latihan di bawah ini ! 1) Jika A = {0, 1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Relasi yang menghubungkan himpunan A ke B adalah “Tiga kurangnya dari” Buatlah : a. Diagram panah. b. Diagram cartesius. c. Himpunan pasangan berurutan. 2) Diberikan himpunan A = {a,b,c,d} dan B = {1,2,3,4,5}. Pasangkanlah secara terurut setiap anggota himpunan A dengan setiap anggota himpunan B.
6. 3) Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini: 4) Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “ Faktor dari “, Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi tersebut! Petunjuk Jawaban Latihan 1. Untuk menjawab nomor 1 dan 2 kalian harus memperhatikan himpunan A dan B dan buatlah diagram sesuai perintah dari data himpunan A dan B. lihat keterkaitan dari himpunan A dan B untuk membuat hubungan relasinya. 2. Untuk menjawab soal nomor 3 dan 4 kalian harus mengetahui konsep atau pengertian dari domain, kodomain, dan range 3.2 Konsep Fungsi A. Definisi Fungsi dalam istilah matematika yaitu pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (disebut sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (disebut sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertian dengan kata yang sama yang digunakan pada kehidupan sehari-hari, seperti contoh “alatnya berfungsi dengan baik.” Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota X dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal ( domain ) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan ( kodomain ). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi
7. tersebut disebut daerah hasil ( range ). Relasi dan fungsi keduanya memiliki keterkaitan. Semua fungsi sudah pasti merupakan suatu relasi, akan tetapi tidak berlaku sebaliknya, yaitu semua relasi belum tentu sebagai fungsi. B. Memahami Notasi, Domain, dan Range melalui grafik Fungsi Ingat kembali pelajaran relasi dan fungsi waktu saat kamu belajar di SMP. Ilustrasi tentang bagaimana sebuah mesin bekerja, mulai dari masukan (input) kemudian diproses dan menghasilkan luaran (output) adalah salah satu contoh bagaimana fungsi dalam matematika bekerja. Bayangkan suatu fungsi sebagai sebuah mesin, misalnya mesin hitung. Ia mengambil suatu bilangan (masukan), maka fungsi memproses bilangan yang masuk dan hasil produksinya disebut keluaran. Contoh : Berdasarkan Gambar 3.1 di atas , misalkan masukannya adalah x = 5, maka mesin akan bekerja dan luarannya adalah 2(5) + 5 = 15. Mesin tersebut telah diprogram untuk menunjukkan sebuah fungsi. Jika f adalah sebuah fungsi, maka dikatakan bahwa f adalah fungsi yang akan mengubah x menjadi 2x + 5. Contoh, fungsi f akan mengubah 2 menjadi 2(2) + 5 = 9; fungsi f akan mengubah 3 menjadi 2(3) + 5 = 11, dan lain sebagainya. Fungsi tersebut dapat ditulis menjadi f : x → 2x + 5, dibaca: fungsi f memetakan x ke 2x + 5 Bentuk penyebutan lain yang ekuivalen dengan ini adalah f(x) = 2x + 5 atau y = 2x + 5
8. Jadi, f(x) adalah nilai y untuk sebuah nilai x yang diberikan, sehingga dapat ditulis y = f(x) yang berarti bahwa y adalah fungsi dari x. Dalam hal tersebut, nilai dari y bergantung pada nilai x, maka dapat dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Misalkan : f(x) = x2 + 2, maka f(3) = 32 + 2 Perhatikan Gambar 3.2 di bawah ini. Berdasarkan Gambar 3.2 (i) diperoleh beberapa hal berikut. 1) Semua nilai x ≥ -2 memenuhi, sehingga daerah asalnya adalah {x : x ≥ -2} atau x∈(-2, ∞). 2) Semua nilai y ≥ -6 memenuhi, sehingga daerah hasilnya adalah {y : y ≥ -6} atau y∈(-6, ∞). Berdasarkan Gambar 3.2 (ii) diperoleh beberapa hal berikut.
9. 1) Semua nilai x, sehingga daerah asalnya adalah {x : x adalah bilangan real} atau x∈R. 2) Nilai y yang memenuhi adalah y ≤ 1 atau dengan kata lain, y tidak mungkin bernilai lebih dari satu, sehingga daerah hasilnya adalah {y : y ≤ 1, y∈R} atau y∈(-∞, 1). Berdasarkan Gambar 3.2 (iii), diperoleh beberapa hal sebagai berikut. 1) Semua nilai x memenuhi kecuali x = 2, sehingga daerah asalnya adalah {x : x ≠ 2}. 2) Semua nilai y memenuhi kecuali y = 1, sehingga daerah asalnya adalah {y : y ≠ 1}. Daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi sebaiknya digambarkan dengan menggunakan interval fungsi.
10. Daerah asal fungsi yang digambarkan pada Gambar 3.2 adalah semua bilangan real x pada interval x ≥ 2, dapat ditulis {x : x ≥ 2} atau x∈(2, ∞). Demikian halnya untuk nilai y, daerah hasilnya adalah semua bilangan real y pada interval y ≥ 1, dapat ditulis {y : y ≥ 1}atau y ∈ (1, ∞). Daerah asal sebuah fungsi dapat juga ditetapkan secara jelas atau tegas (eksplisit). Misalnya, jika ditulis seperti berikut. f(x) = 2x2 0 ≤ x ≤ 3 Dengan demikian daerah asal fungsinya adalah semua bilangan real x yang dibatasi dengan 0 ≤ x ≤ 3. Jika daerah asal sebuah fungsi tidak ditentukan secara tegas/jelas, maka dengan kesepakatan bahwa daerah asal fungsi adalah himpunan semua bilangan real x yang membuat fungsi f terdefinisi. Sebuah fungsi f dikatakan terdefinisi pada bilangan real apabila f anggota himpunan bilangan real. Perhatikan fungsi berikut. Fungsi f tidak terdefinisi untuk nilai x yang membuat penyebutnya bernilai 0, dalam hal ini fungsi f tidak terdefinisi pada x = 2. Dengan demikian, domain Misalkan A dan B himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
11. fungsi f adalah {x : x ≠2, x∈R}. Fungsi g tidak terdefinisi untuk x negatif, sehingga domain fungsi g adalah {x : x ≥ 0, x∈R}. Untuk Menentukan domain fungsi (daerah asal ), ada beberapa hal yang perlu kita ketahui 1. Jika maka 2. Jika maka 3. Jika maka 4. Jika maka Contoh Soal : 1. Manakah relasi di bawah ini yang merupakan fungsi, jika relasi dari A ke B Jawab : • Relasi pertama merupakan fungsi, karena setiap anggota domain A berelasi tunggal terhadap anggota kodomain B • Relasi kedua bukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang berelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain B
12. • Relasi ketiga bukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang tidak berelasi dengan anggota kodomain B 2. Dari grafik di bawah ini, mana yang merupakan fungsi, jika domain sumbu x Jawab : • Grafik a. merupakan fungsi, karena setiap anggota domain x berelasi tunggal terhadap kodomain y • Grafik b. bukan merupakan fungsi karena ada anggota domain x yang berelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain y, yaitu ada anggota x jika kita tarik sejajar sumbu y akan mendapatkan dua titik potong. • Grafik c. bukan merupakan fungsi karena ada anggota domain x yang berelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain y, yaitu ada anggota x jika kita tarik sejajar sumbu y akan mendapatkan dua titik potong. • Grafik d. merupakan fungsi, karena setiap anggota domain x berelasi tunggal terhadap kodomain y C. Sifat – sifat fungsi Berdasarkan sifatnya fungsi terbagi menjadi : a. Fungsi surjektif adalah suatu fungsi yang setiap elemen daerah hasil (Rf) merupakan bayangan paling sedikit dari daerah kodomain (Kf) Kalimat tersebut secara matematika diartikan : Misal f : A B adalah sebuah fungsi. Jika Rf = B atau daerah hasil dari fungsi f sama dengan kodomain f, maka f adalah fungsi subyektif atau pada.
13. b. Fungsi Injektif adalah suatu fungsi yang setiap elemen domain (Df) memiliki pasangan yang berbeda pada kodomain (Kf), Kalimat tersebut secara matematika diartikan : Misal f : A B adalah sebuah fungsi dan Rf adalah daerah hasil f. Bila x1 dan x2 adalah sembarang dua elemen pada Df, jika x1 x2 mengakibatkan f(x1) f(x2) dan jika f(x1) = f(x2) mengakibatkan x1 = x2, maka f: A B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu. c. Fungsi bijektif adalah korespondensi satu-satu, yaitu suatu fungsi yang setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke anggota kodomain dan setiap anggota kodomain merupakan pasangan dari satu dan hanya satu anggota domain Contoh soal : 1. Dari diagram panah di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi surjektif, fungsi injektif dan fungsi bijektif. Jawab: • Diagram panah a merupakan fungsi surjektif karena elemen Range sama dengan elemen Kodomain • Diagram panah b merupakan fungsi injektif karena banyaknya elemen domain sama dengan banyaknya elemen range • Diagram panah c bukan merupakan fungsi surjektif,injektif atau bijektif • Diagram panah d merupakan fungsi surjektif karena elemen Range sama dengan elemen kodomain • Diagram panah e merupakan fungsi bijektif karena elemen Range sama dengan elemen kodomain
14. 2. Lima orang siswa yaitu : Afnita, Anita, Amos, Alvenia, dan Aleks merupakan sahabat yang selalu bersama-sama dalam setiap kegiatan sekolah. Bapak Martono adalah guru matematika yang senang dengan persahabatan yang mereka bina karena mereka selalu memiliki nilai paling bagus dari antara teman- teman sekelasnya. Suatu hari bapak Martono ingin mengetahui data-data tentang mereka. Hal itu diperlukannya sebagai bahan motivasi untuk teman- teman satu kelas mereka. Data-data yang diinginkan berupa: berapa jam rata- rata waktu belajar mereka dalam satu hari, dan berapa banyak saudara mereka. 1. Jika kelima sahabat itu dibuat dalam satu himpunan misalnya A = {Afnita, Anita, Amos, Alvenia, Aleks}, dan lama waktu belajar dalam satu hari adalah B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. a. Nyatakanlah sebuah relasi yang mungkin menurutmu menggambarkan lama waktu belajar lima orang sahabat itu. b. Apakah semua anggota himpunan A pasti memiliki pasangan anggota himpunan B? Berikan penjelasanmu! c. Apakah ada kemungkinan bahwa anggota himpunan A berpasangan dengan 2 atau lebih anggota himpunan B? Berikan penjelasanmu! d. Apakah ada kemungkinan bahwa dua anggota himpunan A memiliki pasangan yang yang sama dengan salah satu anggota himpunan B? Berikan penjelasanmu! 2. Jika kelima sahabat itu dibuat dalam satu himpunan misalnya C = {Afnita, Anita, Amos, Alvenia, Aleks}, dan data tentang banyak saudara mereka adalah D = {1, 2, 3, 4}. a. Nyatakanlah sebuah relasi yang mungkin menurutmu menggambarkan banyak saudara kelima orang sahabat itu. b. Untuk semua relasi yang mungkin, apakah semua anggota himpunan C memiliki pasangan anggota himpunan D? Berikan penjelasanmu!
15. c. Apakah ada kemungkinan bahwa anggota himpunan C berpasangan dengan 2 atau lebih anggota himpunan D? Berikan penjelasanmu! d. Apakah ada kemungkinan bahwa dua anggota himpunan C memiliki pasangan yang yang sama dengan salah satu anggota himpunan D? Berikan penjelasanmu Alternatif Penyelesaian : 1. Diketahui: A = {Afnita, Anita, Amos, Alvenia, Aleks} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a. Relasi yang mungkin menggambarkan rata-rata lama waktu belajar lima orang sahabat itu. b. Jawabannya adalah tidak, karena anggota himpunan B telah dibatasi dari waktu 1 s/d 8 jam, maka diantara kelima sahabat itu dan kemungkinan lain memiliki rata-rata waktu belajar lebih dari 8 jam setiap hari. c. Jawabannya tidak. Anggota himpunan A dipasangkan dengan anggota himpunan B dengan relasi rata-rata lama waktu belajar. Nilai rata-rata waktu belajar seseorang hanya ada satu nilai, sehingga anggota himpunan A akan dipasangkan dengan salah satu anggota di himpunan B. d. Jawabannya ya. Nilai rata-rata waktu belajar seseorang dimungkinkan sama dengan nilai rata-rata waktu belajar orang lain, sehingga anggota-anggota himpunan A memungkinkan memiliki pasangan yang sama dengan salah satu anggota di himpunan
16. 2. Kelima sahabat itu membentuk satu himpunan misalnya himpunan C dan data tentang banyak saudara mereka himpunan D. Diketahui: C = {Afnita, Anita, Amos, Alvenia, Aleks} D = {1, 2, 3, 4} a. Relasi yang mungkin yang menggambarkan banyak saudara kelima orang sahabat itu ditunjukkan pada diagram panah berikut. b. Jawabannya ya. Karena data tentang banyak saudara kelima sahabat itu ada di anggota himpunan D, maka seluruh anggota himpunan C pasti memiliki pasangan dengan anggota himpunan D. c. Jawabannya tidak. Anggota himpunan A dipasangkan dengan anggota himpunan B dengan relasi banyak saudara. Banyak saudara seseorang hanya ada satu nilai, sehingga anggota himpunan C akan dipasangkan dengan salah satu anggota di himpunan D. d. Jawabannya ya. Banyak saudara seseorang dimungkinkan sama dengan banyak saudara orang lain, sehingga anggota-anggota himpunan C memungkinkan memiliki pasangan yang sama dengan salah satu anggota di himpunan D. D. Operasi aljabar pada fungsi
17. Contoh soal : 1. Diketahui fungsi f(x) = x + 3 dan g(x)= x2 – 9. Tentukanlah fungsi- fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya. a) (f + g) b) (f – g) jawab : Daerah asal fungsi f(x) = x + 3 adalah Df = {x | x∈R} dan daerah asal fungsi g(x) = x2 – 9 adalah Dg = {x | x∈R}. a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x + 3)+ (x2 – 9)
18. = x2 + x – 6 Daerah asal fungsi (f + g)(x) adalah Df + g = Df ∩ Dg = {x | x∈R} ∩ {x | x∈R} = {x | x∈R } b) (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (x + 3)–(x2 – 9) = -x2 + x + 12 Daerah asal fungsi (f – g)(x) adalah Df – g = Df ∩ Dg = {x | x∈R} ∩ {x | x∈R} = {x | x∈R} E. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 2x + 1 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = x2 – 1.
19. (1) Apakah fungsi komposisi (g ο f)(x)dan (f ο g)(x) terdefinisi? (2) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g ο f)(x) dan (f ο g)(x). Jawab : f(x) = 2x + 1; g(x) = x2 – 1 Df ={x | x∈R} = R; Rf = {y | y∈R} = R Dg ={x | x∈R} = R; Rg = {y | y∈R} = R (1) Untuk menentukan fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x) terdefinisi, maka dapat diketahui berdasarkan i. Jika Rf ∩ Dg ≠ Ø, maka (g ο f)(x) terdefinisi. {y | y ∈ R} ∩{x | x ∈ R} = R ∩ R = R ≠ Ø karena Rf ∩Dg ≠ Ø, maka (g ο f) (x) terdefinisi. ii. Jika Rg ∩ Df ≠ 0, maka (f ο g)(x) terdefinisi. {y| y ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = R ∩ R = R ≠ Ø karena Rg∩Df ≠ Ø, maka (f ο g) (x) terdefinisi. (2) Rumus fungsi komposisi (g ο f)(x)dan (f ο g)(x) ditentukan dengan i. (g ο f)(x) = g(f(x))
20. = g(2x + 1) = (2x + 1)2 -1 = (4x2 + 4x + 1) – 1 = 4x2 + 4x iii. (f ο g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 1) = 2(x2 – 1) + 1 = 2x2 – 2 + 1 = 2x2 –1 Dengan demikian diperoleh(g ο f)(x) = 4x2 + 4x dan (f ο g)(x) = 2x2 – 1 Latihan 3.2 Untuk memantapkan pemahaman anda terhadap materi diatas, coba kerjakan latihan di bawah ini ! 1. Mana dari himpunan A, B dan C berikut ini yang merupakan fungsi ? A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)} B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)} 2. Tentukanlah daerah asal dan daerah hasil fungsi yang disajikan pada grafik berikut. 3. Tentukanlah daerah asal dan daerah hasil fungsi linier f(x) = 2x + 3
21. 4. Diketahui fungsi f dengan rumus . Tentukanlah domain fungsi agar memiliki pasangan anggota himpunan bilangan real. 5. Dari diagram panah di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi surjektif, fungsi injektif dan fungsi bijektif. 6. Dari fungsi-fungsi yang disajikan dengan himpunan pasangan berurutan berikut ini manakah yang merupakan fungsi onto, injektif atau bijektif Jika domain A={a, b, c, d} dan kodomain B = {1, 2, 3, 4}? a. {(a, 1), (b, 1), (c, 3), (d, 4)} b. {(a, 2), (b, 2), (c, 2),(d,2)} c. {(a, 1), (b, 2), (c, 3),(d,3)} d. {(a, 1), (b, 1), (c, 2),(d,2)} e. {(a, 3), (b, 2), (c, 1),(d,4)} . 7. Jika g : x → 3x² + 5 dan domainnya {-3 x 1, x B}, tentukan daerah hasil dan buatlah himpunan pasangan berurutannya Petunjuk Jawaban Latihan 1. Untuk menjawab soal nomor 1 kalian bisa membuat diagram panah untuk lebih mudah melihat hubungan yang terbentuk dari pernyataan soal. Dan kalian harus memahami konsep dari fungsi 2. Untuk menjawab soal nomor 2 kalian harus memahami grafik fungsi 3. Untuk menjawab nomor 3,4 dan 7 pelajari tentang konsep daerah asaldan daerah hasil 4. Untuk menjawab soal nomor 5 dan 6 pahami sifat – sifat fungsi F. Macam – macam Fungsi a. Fungsi Linier
22. Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.: Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier a. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0) b. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1) c. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus contoh : 1) Lukislah grafik dari y = 2x – 6 Jawab : Titik potong dengan sumbu x y = 0 y = 2x – 6 0 = 2x - 6 6 = 2x x1 = 3 (3, 0) Titik potong dengan sumbu y x = 0 y = 2x – 6 y = 2.0 - 6 y1 = - 6 (0, - 6) Sehingga diperoleh tabel dan grafik x 3 0 y 0 -6 (x,y ) (3,0) (0,-6)
23. b. Fungsi kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah : f(x) = ax2 + bx + c dimana a, b, c € R dan a ≠ 0 . grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c . beberapa langkah yang ditempuh untuk menggambar grafik fungsi kuadrat adalah ; a Titik potong grafik dengan sumbu x , dengan mengambil y = 0 b Titik potong grafik dengan sumbu y , dengan mengambil x = 0 c Sumbu simetri grafik d Koordinat titik balik atau titik puncak (x,y) dimana dan dengan D= b2 – 4ac e Grafik terbuka kebawah jika a < 0 dan terbuka keatas jika a >0 Contoh soal : jika domain dari fungsi g(x) = 4x – x2 adalah Df = { x | 0 ≤ x ≤ 2, x € R } , tentukan range fungsi tersebut ! jawab : domain dan range fungsi yaitu pad x = 0 nilai f(0) = 4(0) – 02 = 0, sedangkan x = 2 fungsi bernilai f(2) = 4 . 2 – 22 = 4. Sehingga range berada pada interval 0 sampai 4 atau Rf = { y| 0≤ y ≤ 4 , y € R }. Yang perlu diperhatikan untuk mencari range adalah selain nilai pada ujung – ujung interval yang diperiksa tetapi juga nilai maksimum dan nilai minimum fungsi. Interval range / daerah hasil diperoleh diantara nilai terkecil dan terbesar dari ketiga nilai tersebut. C. Fungsi Rasional Ekspresi rasional adalah ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi rasional kadang kadang disebut sebagai fungsi pecah. Fungsi rasional dirumuskan
24. Contoh – contoh fungsi rasional : Biasanya langkah – langkah untuk menggambar grafik fungsi pecah tersebut adalah sebagai berikut. 1. Mencari titik potongnya dengan sumbu X 2. Mencari titik potongnya dengan sumbu Y 3. Mencari asimtot – asimtotnya 4. Mencari titik potongnya dengan asimtot mendatarnya. Jiak titik potong antara grafik dengan asimtot mendatar ada. Maka titik potong itu hanya sebuah. Yang biasnya m,empunyai titik potong dengan asimtot mendatar adalah gfrafik fungsi pecah jenis kedua. 5. Mencari titik ekstrim dan jenisnya ( maksimum dan minimum) 6. Untuk mempermudah menggambar grafik, kalau diperlukan ditentukan beberapa titik bantu dan daerah grafiknya. Setelah grafiknya dapat digambar , kita dapat pula menemukan daerah hasil dari fungsi yang diketahui. Contoh : 1. Gambarlah grafik dari fungsi Jawab : 1) Titik potong dengan sumbu X Berarti titik potongnya dengan sumbu X adalah (0,0) 2. Titik potong dengan sumbu Y Berarti garis memotong sumbu Y di (0,0) 3. Asimtot mendatar asimtot mendatarnya adalah y= -1 4. Asimtot tegaknya
25. 5. Titik balik • • Untuk m = -1 dari persamaan (1) tidak diperoleh nilai x . ini berarti tidak ada tiitk balik yang bersesuaian dengan m= -1 • Untuk m = 0 dari persamaan (1) diperoleh x = 0 dan titik balik yang bersesuaian adalah titik (0,0). untuk menentukan jenis titik balik yang diperoleh , nilai m yang diperoleh ditempatkan pada garis bilangan . kemudian ditentukan tanda D ( negatif atau positifnya) pada interval – interval yang ada. ( ingat penyelesaian persamaan kuadrat) Rangkuman. 1. Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Relasi antara dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan : a. Diagram Panah b. Diagram Cartesius c. Pasangan Berurutan.
26. 2. Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut (daerah hasil). 3. Pemetaan atau fungsi adalah relasi khusus dari himpunan A ke B dimana setiap anggota A tepat memiliki pasangan dengan anggota B 4. Setiap fungsi merupakan relasi. Tetapi sebuah relasi belum tentu merupakan fungsi. 5. Berdasarkan sifatnya fungsi terbagi menjadi : a. Fungsi surjektif adalah suatu fungsi yang elemen daerah hasilnya (Rf) sama dengan elemen daerah kodomain (Kf). nama lain fungsi surjektif adalah fungsi onto atau fungsi kepada b. Fungsi Injektif adalah suatu fungsi yang setiap domain memiliki pasangan yang berbeda pada kodomain, atau banyaknya anggota domain (Df) sama dengan banyaknya anggota range (Rf ) c. Fungsi bijektif adalah korespondensi satu-satu pada, yaitu suatu fungsi yang setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke anggota kodomain dan setiap anggota kodomain merupakan pasangan dari satu dan hanya satu anggota domain 6. Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. 7. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah : f(x) = ax2 + bx + c dimana a, b, c € R dan a ≠ 0 . grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c . TesFormatif 3.6 Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi ini, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Pilih satu jawaban yang Anda anggap paling tepat! 1) Dari beberapa himpunan berikut. A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)}
27. B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)} Mana dari himpunan A, B dan C berikut ini yang merupakan fungsi ? b. Himpunan A dan C c. Himpunan B dan C c. Himpunan B d. Himpunan A dan B e. Himpunan A, B , C 2) Dibawah ini manakah yang merupakan fungsi dari A ke B ? a. A A B b. A B c. A B d. A A B e. 1 2 3 a b c d 1 2 3 a b c d 1 2 3 a b c d 1 2 3 a b c d a b c d 1 2 3
28. A B 3. Perhatikan diagram panah berikut : Diagram panah yang merupakan fungsi adalah a. (2) dan (4) b. (2) dan (3) c. (1) dan (3) d. (1) dan (2) e. Tidak ada 4. Perhatikan grafik dibawah ini, grafik mana yang bukan fungsi jika domain sumbu x ? a. a dan b b. b dan c c. c dan d d. a dan d
29. e. d saja 5. Diketahui fungsi komposisi (g ο f) (x) = 18x2 + 24x + 2 dan fungsi g(x) = 2x2 – 6. Tentukanlah rumus untuk fungsi f(x) ! a. f(x) = 3x + 2 dan f(x) = -3x – 2. b. f(x) = -3x + 2 dan f(x) = 3x – 2. c. f(x) = 3x - 2 dan f(x) = -2x – 3. d. f(x) = 2x + 3 dan f(x) = -2x – 3. e. f(x) = 3x -2 dan f(x) = -2x + 2. 6. Jika g : x 3x² + 5 dan domainnya {-3 x 1, x B}, tentukan daerah hasil dan buatlah himpunan pasangan berurutannya. a. { 32, 17, 5} b. { 32, 17, 8, 5} c. { 64, 17, 8, 5} d. { 17, 5} e. { 32, 64, 8, 5} 7. Diketahui fungsi f(x) = x + 3 dan g(x)= x2 – 9. Tentukanlah daerah asal fungsi (f x g) serta daerah asalnya berturut – turut ! a. x3 + 3x2 – 9x – 27 dan {x | x∈R} b. x3 + 9x2 + 3x – 27 dan {x | x∈R}
30. c. x3 + 3x2 – 3x – 27 dan {x | x∈R} d. x3 + 2x2 – 9x – 24 dan {x | x∈R} e. x3 + 2x2 + 9x – 24 dan {x | x∈R} 8. Tentukan daerah asal dari a. Df = {x | x ≠ 4 , x ∈ R} b. Df = {x | x ≠ 3 , x ∈ R}
31. c. Df = {x | x ≠ 0 , x ∈ R} d. Df = {x | x ≠ 1 , x ∈ R} e. Df = {x | x ≠ 2 , x ∈ R} 9. Tentukan range f(x) = x2 – 2x – 3 dengan domain Df = { x | -1 ≤ x ≤ 4 , x € R } ! a. Rf = { y | -4 ≤ y ≤ 5, y € R } b. Rf = { y | -4 ≤ y ≤ 4, y € R } c. Rf = { y | 4 ≤ y ≤ 5, y € R } d. Rf = { y | 5 ≤ y ≤ 5, y € R } e. Rf = { y | -5 ≤ y ≤ 5, y € R }
32. 10. Tentukan daerah asal dari a. Dm = {a | a ≤ -6 -2 < a ≤ 1 , a € Q }˅ b. Dm = {a | a ≤ 6 2 < a ≤ 2 , a € Q }˅ c. Dm = {a | a ≤ -6 2 < a ≤ 1 , a € Q }˅ d. Dm = {a | a ≤ 6 -2 < a ≤ 1 , a € Q }˅ e. Dm = {a | a ≤ -6 -2 < a ≤ 2 , a € Q }˅ Umpan Balik dan Tindak Apabila Anda telah mengerjakan tes formatif, cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif yang
33. Lanjut terdapat pada bagian akhir unit ini, Kemudian hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi ini. Rumus: Jumlah Jawaban Anda yang Benar Tingkat Penguasaan = x 100% ..................... Arti tingkat penguasaan yang Anda capai: 90% − 100% = baik sekali 80% − 89% = baik 70% − 79% = cukup < 70% = kurang Bila tingkat penguasaan Anda mencapai 80% ke atas, Bagus Anda dapat melanjutkan dengan mempelajari materi pada unit berikutnya. Tetapi, bila tingkat penguasaan Anda kurang dari 80%, Anda harus membaca kembali uraian materi Unit 5, terutama pada bagian yang belum Anda kuasai.
34. DAFTAR PUSTAKA Bornok Sinaga, P. N. (2014). buku matematika kelas X revisi 2014. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan. Prof. Dr. Bornok Sinaga, M. P. (2016). buku matematika kelas X revisi 2016. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan. To'ali. (2008). buku matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.