Persamaan Linier Dua Variabel

Khazanah Pustaka Ringkas

Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari saat tingkat SMP. Untuk memantapkan pemahaman tentang materi ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang super lengkap dengan tipe berupa soal pemahaman dan soal cerita (aplikasi).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV

Quote by Ahmad Fuadi

Orang tua itu ibarat tonggak negeri. Kalau orang tua itu sendiri yang lemah dan goyah, apa yang mau diharapkan?

Soal Nomor 1 Jika $x$ dan $y$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $2x-y=7$ dan $x+3y=14$, maka nilai $x+2y$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8$ B. $9$ C. $11$ D. $13$

Diketahui SPLDV $\begin{cases} 2x-7 & = 7 && (\cdots 1) \\ x+3y& = 14 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x -y & = 7 \\ x + 3y & = 14 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x -3y & = 21 \\ x+3y & = 14 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7x & = 35 \\ x & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} 2\color{red}{x} -y & = 7 \\ 2(5) -y & = 7 \\ 10 -y & = 7 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Diperoleh nilai $y = 3$, sehingga $\boxed{x+2y=5+2(3)=11}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 2 Jika $x$ dan $y$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $2x+3y=3$ dan $3x-y=10$, maka nilai $2x-y = \cdots \cdot$ A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $7$

Diberikan SPLDV $\begin{cases} 2x+3y & = 3 && (\cdots 1) \\ 3x-y & = 10 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 3x -y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y & = 3 \\~9x-3y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 11x & = 33 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = 3$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} 2\color{red}{x} + 3y & = 3 \\ 2(3) + 3y & = 3 \\ 6 + 3y & = 3 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{aligned}$ Diperoleh nilai $y = -1$, sehingga $\boxed{2x-y = 2(3)-(-1) = 7}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 3 Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel $\begin{cases} 7x+3y=-5 \\ 5x+2y=1 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\{(13,-32)\}$ C. $\{(32,-13)\}$ B. $\{(-13,-32)\}$ D. $\{(-32,-13)\}$

Diketahui SPLDV $\begin{cases} 7x+3y & =-5 && (\cdots 1) \\ 5x+2y & =1 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 5x+2y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x+6y & = -10 \\~15x+6y & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -x & = -13 \\ x & = 13 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = 13$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} 7\color{red}{x}+3y & = -5 \\ 7(13) + 3y & = -5 \\ 3y & = -96 \\ y & = -32 \end{aligned}$ Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(13, -32)\}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 4 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} x- y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$

A. $\{(-2,9)\}$ C. $\{(-5, 10)\}$ B. $\{(10,5)\}$ D. $\{(5, 10)\}$

Diketahui SPLDV $\begin{cases} x- y & = 5 && (\cdots 1) \\ 3x -5y & = 5 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x-3y & = 15 \\~3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} x-\color{red}{y} & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}$ Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(10, 5)\}$. (Jawaban B)

Soal Nomor 5 Andi membeli $2$ buku tulis dan $3$ pensil seharga Rp8.500,00, sedangkan Didit membeli $3$ buku tulis dan $2$ pensil seharga Rp9.000,00. Jika Anita membeli $1$ buku dan $1$ pensil, maka ia harus membayar sebesar $\cdots \cdot$ A. Rp5.000,00 C. Rp4.000,00 B. Rp4.500,00 D. Rp3.500,00

Misalkan $x$ = harga $1$ buku tulis dan $y$ = harga $1$ pensil, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut. $\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 && (\cdots 1) \\ 3x + 2y & = 9.000 && (\cdots 2) \end{cases}$

Jumlahkan persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \rule{3.4 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 5x + 5y& = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}$ Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli $1$ buku tulis dan $1$ pensil.

(Jawaban D)

Soal Nomor 6 Harga $5$ kg gula pasir dan $30$ kg beras adalah Rp410.000,00, sedangkan harga $2$ kg gula pasir dan $60$ kg beras adalah Rp740.000,00. Harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah $\cdots \cdot$ A. Rp154.000,00 C. Rp74.000,00 B. Rp80.000,00 D. Rp32.000,00

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut. $\begin{cases} 5x + 30y & = 410.000 && (\cdots 1) \\ 2x + 60y & = 740.000 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+30y & = 410.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 10x+60y & = 820.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 8x & = 80.000 \\ x & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$$

Substitusi $x = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.

$\begin{aligned} 5\color{red}{x} +30y & = 410.000 \\ 5(10.000) + 30y & = 410.000 \\ 50.000 + 30y & = 410.000 \\ 30y & = 36.000 \\ y & = 12.000 \end{aligned}$ Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp10.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp12.000,00. Dengan demikian, harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah

$2 \times 10.000 + 5 \times 12.000 = \boxed{\text{Rp}80.000,00}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 7 Harga $2$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp27.000,00, sedangkan harga $3$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp33.000,00. Harga $1$ kg gula pasir dan $1$ kg beras (masing-masing) adalah $\cdots \cdot$ A. Rp6.000,00 dan Rp5.000,00 B. Rp5.000,00 dan Rp6.000,00 C. Rp5.000,00 dan Rp7.000,00 D. Rp7.000,00 dan Rp5.000,00

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut. $\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 && (\cdots 1) \\ 3x + 3y & = 33.000 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\ \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$

Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.

$\begin{aligned} 2\color{red}{x} +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$ Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp5.000,00.

(Jawaban A)

Soal Nomor 8 Harga $5$ pensil dan $2$ buku adalah Rp26.000,00, sedangkan harga $3$ pensil dan $4$ buku Rp38.000,00. Jika harga $1$ pensil dinyatakan dengan $a$ dan harga $1$ buku dinyatakan dengan $b$, maka sistem persamaan linear dua variabel yang tepat sesuai masalah di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $5a+2b=26.000$ dan $4a+3b=38.000$ B. $5a+2b=26.000$ dan $3a+4b=38.000$ C. $2a+5b=26.000$ dan $3a+4b=38.000$ D. $2a+5b=26.000$ dan $4a+3b=38.000$

Harga $5$ pensil dan $2$ buku adalah Rp26.000,00, kita tulis $5a + 2b = 26.000$ Harga $3$ pensil dan $4$ buku adalah Rp38.000,00, kita tulis $3a + 4b = 38.000$ Jadi, SPLDV yang sesuai adalah $\begin{cases} 5a+2b=26.000 \\ 3a+4b=38.000 \end{cases}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 9 Keliling lapangan yang berbentuk persegi panjang adalah $58$ meter. Jika selisih panjang dan lebarnya $9$ meter, maka luas lapangan tersebut adalah $\cdots~\text{m}^2$. A. $95$ C. $261$ B. $190$ D. $380$

Diketahui keliling persegi panjang 58 meter, berarti ditulis $2(p + l) = 58 \Leftrightarrow p + l = 29$ Diketahui juga bahwa selisih panjang dan lebar 9 meter, berarti ditulis $p -l = 9$ Dengan demikian, diperoleh SPLDV $\begin{cases} p + l &= 29 && (\cdots 1) \\ p -l & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$ Eliminasi $l$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} p + l & = 29 \\ p -l& = 9 \end{aligned} \\ \rule{2.3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2p & = 38 \\ p & = 19 \end{aligned} \end{aligned}$ Untuk $p=19$, diperoleh $19-l = 9$, yang berarti $l = 10$. Jadi, luasnya adalah $\boxed{L = pl = 19(10) = 190~\text{m}^2}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 10 Sukardi membeli kue untuk merayakan acara ulang tahun pacarnya. Kue yang dibeli ada $2$ jenis, yaitu kue nastar dan kue keju. Harga $1$ kaleng kue nastar sama dengan dua kali harga $1$ kaleng kue keju. Jika harga $3$ kaleng kue nastar dan $2$ kaleng kue keju adalah Rp480.000,00, maka uang yang harus dibayar Sukardi apabila ia memutuskan untuk membeli $2$ kaleng kue nastar dan $3$ kaleng kue keju adalah $\cdots \cdot$ A. Rp480.000,00 C. Rp360.000,00 B. Rp420.000,00 D. Rp180.000,00

Misalkan $x =$ harga satu kaleng kue nastar dan $y =$ harga satu kaleng kue keju. Dengan demikian, diperoleh SPLDV $\begin{cases} x & = 2y \\ 3x + 2y & = 480.000 \end{cases}$ Substitusi $2y = x$ pada persamaan $2$, sehingga ditulis $\begin{aligned} 3x + \color{red}{x} & = 480.000 \\ 4x & = 480.000 \\ x & = 120.000 \end{aligned}$ Ini berarti, $y = \dfrac{1}{2} \cdot 120.000 = 60.000$ Harga $2$ kaleng kue nastar dan $3$ kaleng kue keju adalah $\begin{aligned} 2x + 3y & = 2(120.000) + 3(60.000) \\ & = 240.000 + 180.000 = 420.000 \end{aligned}$ Jadi, uang yang harus dibayar Sukardi adalah Rp420.000,00. (Jawaban B)

Soal Nomor 11 Budi dan Joko membeli buku tulis dan pulpen di toko Pak Umar. Budi membeli $10$ buku tulis dan $4$ pulpen dengan harga Rp36.000,00. Joko membeli $5$ buku tulis dan $8$ pulpen dengan harga Rp27.000,00. Harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen masing-masing adalah $\cdots \cdot$ A. Rp2.000,00 dan Rp2.000,00

B. Rp2.500,00 dan Rp2.750,00 C. Rp3.000,00 dan Rp1.750,00 D. Rp3.000,00 dan Rp1.500,00

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen, sehingga terbentuk SPLDV $\begin{cases} 10x + 4y & = 36.000 && (\cdots 1) \\ 5x + 8y & = 27.000 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 10x + 4y & = 36.000 \\ 5x + 8y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5x+2y & = 18.000 \\~5x+8y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 6y & = 9.000 \\ y & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$$

Substitusi $y = 1.500$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.

$\begin{aligned} 5x + 2\color{red}{y} & = 18.000 \\ 5x + 2(1.500) & = 18.000 \\ 5x + 3.000 & = 18.000 \\ 5x & = 15.000 \\ x & = 3.000 \end{aligned}$ Jadi, harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp3.000,00 dan Rp1.500,00.

(Jawaban D)

Soal Nomor 12 Perhatikan gambar berikut! Gambar a dan b masing-masing menunjukkan potongan struk belanjaan Lucky dan Claresta di Indo April Alun-alun Pacitan. Jika pada hari yang sama, Audrey memiliki uang Rp165.000,00 dan ingin membeli buku tulis 10’s dan pensil 2B dengan kuantitas terbanyak, maka barang yang dapat dibeli olehnya adalah $\cdots \cdot$ A. empat buku tulis 10’s dan enam pensil 2B B. enam buku tulis 10’s dan empat pensil 2B C. sepuluh buku tulis 10’s dan enam pensil 2B D. enam buku tulis 10’s dan delapan pensil 2B

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga 1 buku tulis 10’s dan 1 pensil, sehingga terbentuk SPLDV $\begin{cases} 2x + 3y & = 80.000 && (\cdots 1) \\ x + y & = 35.000 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 80.000 \\ x + y & = 35.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x + 3y & = 80.000 \\~2x + 2y & = 70.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$

Substitusi $y = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.

$\begin{aligned} x + \color{red}{y} & = 35.000 \\ x + 10.000 & = 35.000 \\ x & = 25.000 \end{aligned}$ Ini berarti, harga $1$ buku tulis 10’s dan $1$ pensil berturut-turut adalah Rp25.000,00 dan Rp10.000,00. Cek alternatif jawaban:

A. empat buku tulis 10’s dan enam pensil 2B $\begin{aligned} 4x + 6y & = 4(25.000) + 6(10.000) \\ & = 160.000 \end{aligned}$ B. enam buku tulis 10’s dan empat pensil 2B$\begin{aligned} 6x + 4y & = 6(25.000) + 4(10.000) \\ & = 190.000 \end{aligned}$

(kelebihan) C. sepuluh buku tulis 10’s dan enam pensil 2B$\begin{aligned} 10x + 6y & = 10(25.000) + 6(10.000) \\ & = 310.000 \end{aligned}$ (kelebihan) D. enam buku tulis 10’s dan delapan pensil 2B$\begin{aligned} 6x + 8y & = 6(25.000) + 8(10.000) \\ & = 230.000 \end{aligned}$ (kelebihan) (Jawaban A)

Soal Nomor 13 Claresta dan Lucky membeli buku tulis dan pulpen di toko yang sama dengan bukti pembayaran sebagai berikut. Jika Roy membeli $5$ buku tulis dan $7$ pulpen yang berjenis sama di Toko Alang-Alang “Asyiapp Hore-Hore”, maka ia harus membayar sebesar $\cdots \cdot$ A. Rp65.000,00 C. Rp70.000,00 B. Rp67.000,00 D. Rp77.000,00

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen, sehingga terbentuk SPLDV $\begin{cases} 3x + 5y & = 43.000 && (\cdots 1) \\ 4x + 2y & = 34.000 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x + 5y & = 43.000 \\ 4x + 2y & = 34.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 6x + 10y & = 86.000 \\~20x + 10y & = 170.000 \end{aligned} \\ & \rule{4.4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 14x & = 84.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$$

Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.

$\begin{aligned} 3\color{red}{x} + 5y & = 43.000 \\ 3(6.000) + 5y & = 43.000 \\ 18.000 + 5y & = 43.000 \\ 5y & = 25.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$ Ini berarti, harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp6.000,00 dan Rp5.000,00 Karena Roy membeli $5$ buku tulis dan $7$ pulpen, maka $\begin{aligned} 5x + 7y & = 5(6.000) + 7(5.000) \\ & = 30.000 + 35.000 = 65.000 \end{aligned}$ Jadi, uang yang harus dibayar Roy sebesar Rp65.000,00.

(Jawaban A)

Soal Nomor 14 Selisih uang adik dan kakak Rp10.000,00. Dua kali uang kakak ditambah uang adik hasilnya Rp40.000,00. Jumlah uang mereka berdua adalah $\cdots \cdot$ A. Rp35.000,00 C. Rp20.000,00 B. Rp30.000,00 D. Rp10.000,00

Misalkan banyaknya uang adik disimbolkan $x$ dan banyaknya uang kakak disimbolkan $y$, sehingga diperoleh SPLDV $\begin{cases} x -y & = 10.000 && (\cdots 1) \\ x + 2y & = 40.000 && (\cdots 2) \end{cases}$ Dengan menggunakan metode gabungan, diperoleh $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x + 2y & = 40.000 \\ x -y & = 10.000 \end{aligned} \\ \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 3y & = 30.000 \\ y & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$ Untuk $y=10.000$, diperoleh $x = 10.000 = 10.000$, yang berarti $x = 20.000$ Jumlah uang mereka berdua kita tulis $\boxed{x+y=10.000+20.000=30.000}$ Jadi, jumlah uang mereka berdua adalah Rp30.000,00. (Jawaban B)

Soal Nomor 15 Perhatikan cuplikan chat Whatsapp berikut ini! Jika seorang siswa berencana membeli $1$ buku dan $1$ pensil di koperasi siswa (kopsis) tersebut, maka ia harus membayar uang sebesar $\cdots \cdot$ A. Rp3.000,00 C. Rp5.000,00 B. Rp4.000,00 D. Rp6.000,00

Dari cuplikan chat tersebut, misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku dan $1$ pensil, sehingga terbentuk SPLDV $\begin{cases} 3x + 2y & = 11.000 && (\cdots 1) \\ 2x + y & = 7.000 && (\cdots 2) \end{cases}$

Kurangi persamaan $(1)$ terhadap persamaan $(2)$ untuk memperoleh

$x + y = 4.000$ Ini berarti, jumlah harga keduanya adalah Rp4.000,00. Jadi, siswa itu harus membayar uang sebesar Rp4.000,00.

(Jawaban B)

Soal Nomor 16 Banyaknya penyelesaian (solusi) dari sistem persamaan linear $\begin{cases} 6x+2y & =12 \\ 3x+y & =6 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ B. $1$ D. $\infty$ (tak hingga)

Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 6x+2y & = 12 \\ 3x+y & = 6 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times \frac12 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+y & = 6 \\ 3x+y & = 6 \end{aligned} \end{aligned}$ Sistem tersebut memiliki dua persamaan yang sebenarnya ekuivalen (sama). Ini berarti, sistem tersebut mengandung dua variabel dalam persamaan tunggal, sehingga ada $\infty$ (tak hingga) banyaknya penyelesaian. (Jawaban D)

Soal Nomor 17 Jika sistem persamaan linear $\begin{cases} ax-by & =6 \\ 2ax + 3by & =2 \end{cases}$ mempunyai penyelesaian $x = 2$ dan $y=1$, maka nilai dari $a^2+b^2 = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $5$ B. $4$ D. $8$

Karena $x=2$ dan $y=1$ merupakan penyelesajan dari SPLDV di atas, maka substitusi menghasilkan $\begin{cases} 2a-b = 6 \\ 4a+3b=2 \end{cases}$ Akan ditentukan nilai $b$ dengan menggunakan metode eliminasi. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a-b & = 6 \\ 4a+3b & = 2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a-2b & = 12 \\ 4a+3b & = 2 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.8pt} – \\ & \! \begin{aligned} -5b & = 10 \\ b & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $b=-2$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan $2a-b=6$, sehingga diperoleh $2a-(-2)=6 \Leftrightarrow 2a=4 \Leftrightarrow a = 2$ Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a^2+b^2=(2)^2+(-2)^2=4+4=8}$ (Jawaban D)

Tingkat Lanjut

Soal Nomor 18 Pada rangkaian listrik tertutup, dengan menerapkan Hukum Kirchhoff diperoleh sistem persamaan $\begin{cases} 2R_1+3R_2 & = 8 \\ R_1-3R_2& = 1 \end{cases}$ Nilai dari $R_1$ dan $R_2$ dalam satuan $\Omega$ (baca: ohm) berturut-turut adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ dan $\dfrac13$ D. $\dfrac13$ dan $2$ B. $3$ dan $\dfrac23$ E. $3$ dan $1$ C. $\dfrac23$ dan $2$

Diketahui SPLDV $\begin{cases} 2R_1+3R_2 & = 8 && (\cdots 1) \\ R_1-3R_2& = 1 && (\cdots 2) \end{cases}$ Eliminasi $R_2$ dari kedua persamaan di atas. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2R_1+3R_2 & = 8 \\ R_1-3R_2 & = 1 \end{aligned} \\ \rule{3.1 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3R_1 & = 9 \\ R_1 & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $R_1 = 3~\Omega$ pada persamaan $(2)$. $\begin{aligned} \color{red}{R_1}-3R_2 & = 1 \\ 3-3R_2 & = 1 \\ -3R_2 & = -2 \\ R_2 & = \dfrac23 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $R_1$ dan $R_2$ berturut-turut adalah $3~\Omega$ dan $\dfrac23 ~\Omega$. (Jawaban B)

Soal Nomor 19 Jika sistem persamaan $\begin{cases} mx+3y & = 21 \\ 4x-3y & = 0 \end{cases}$ memiliki penyelesaian bilangan bulat positif $x$ dan $y$, maka nilai $m+x+y$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $9$ atau $45$ D. $12$ atau $46$ B. $10$ atau $45$ E. $15$ atau $52$ C. $10$ atau $46$

Diketahui $\begin{cases} mx+3y & = 21 && (\cdots 1) \\ 4x-3y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$ Pada persamaan $(2)$, diperoleh $-3y = -4x \Leftrightarrow y = \dfrac43x$ Agar $y$ bulat, maka $x$ harus habis dibagi $3$. Substitusi $y = \dfrac43x$ pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} mx+3\color{red}{y} & = 21 \\ mx + \cancel{3}\left(\dfrac{4}{\cancel{3}}x\right) & = 21 \\ mx + 4x & = 21 \\ (m+4)x & = 21 \end{aligned}$ Bentuk $(m+4)x$ dapat dianggap sebagai perkalian dua bilangan bulat yang menghasilkan $21$. Faktor dari $21$ adalah $1, 3, 7$, dan $21$ (hanya $3$ dan $21$ yang mungkin untuk menjadi nilai $x$ karena keduanya habis dibagi $3$). Misal diambil $x = 3$. Akibatnya, $m = 3$ dan $y = 4$, sehingga $\boxed{m+x+y = 3+3+4 = 10}$ Misal diambil $x = 21$. Akibatnya, $m = -3$ dan $y = 28$, sehingga $\boxed{m+x+y = -3+21+28 = 46}$. Jadi, nilai $m+x+y$ yang mungkin adalah $10$ atau $46$. (Jawaban C)

Soal Nomor 20 Jika solusi dari SPLDV $\begin{cases} (a+3)x + y & = 0 \\ x + (a+3)y & = 0 \end{cases}$ tidak hanya $(x, y) = (0,0)$ saja, maka nilai $a^2+6a+17 = \cdots \cdot$ A. $0$ B. $1$ C. $4$ D. $9$ E. $16$

Diketahui $\begin{cases} (a+3)x + y & = 0 && (\cdots 1) \\ x + (a+3)y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$ Dua ruas pada persamaan $(2)$ dikali dengan $(a+3)$ menghasilkan $(a+3)x + (a+3)^2y = 0~~~~~(\cdots 3)$. Kurangi $(1)$ dan $(3)$, lalu selesaikan untuk mencari nilai $a$. $\begin{aligned} y-(a+3)^2y & = 0 \\ y(1-(a+3)^2) & = 0 \\ 1-(a+3)^2 & = 0 && (\text{Bagi}~y) \\ 1-(a^2+6a+9) & = 0 \\ a^2+6a+8 & = 0 \\ (a+4)(a+2) & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh nilai $a=-4$ atau $a=-2$. Substitusi $a=-4$ pada bentuk $a^2+6a+17$. $\boxed{(-4)^2+6(-4)+17 = 16-24+17=9}$ Substitusi $a=-2$ pada bentuk $a^2+6a+17$. $\boxed{(-2)^2+6(-2)+17 = 4-12+17=9}$ Jadi, nilau dari $\boxed{a^2+6a+17 = 9}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 21 Pak Dede bekerja selama $6$ hari dengan $4$ hari di antaranya lembur dan ia mendapat upah Rp74.000,00. Pak Asep bekerja selama $5$ hari dengan $2$ hari di antaranya lembur dan ia mendapat upah Rp55.000,00. Pak Dian bekerja $4$ hari dan seluruhnya lembur. Mereka bertiga mendapat sistem upah yang sama. Upah yang diperoleh Pak Dian adalah $\cdots \cdot$ A. Rp36.000,00 D. Rp60.000,00 B. Rp46.000,00 E. Rp70.000,00 C. Rp56.000,00

Misalkan $L, N$ berturut-turut menyatakan upah saat hari lembur dan upah saat hari normal. Pak Dede bekerja selama $6$ hari dengan $4$ hari di antaranya lembur ($2$ hari sisanya normal) dan ia mendapat upah Rp74.000,00. Secara matematis, ditulis $\boxed{4L + 2N = 74.000}$ Pak Asep bekerja selama $5$ hari dengan $2$ hari di antaranya lembur ($3$ hari sisanya normal) dan ia mendapat upah Rp55.000,00. Secara matematis, ditulis $\boxed{2L + 3N = 55.000}$ Dengan demikian, diperoleh SPLDV $\begin{cases} 4L + 2N & = 74.000 && (\cdots 1) \\ 2L+3N & = 55.000 && (\cdots 2) \end{cases}$ Persamaan $(1)$ dapat disederhanakan menjadi $2L + N = 37.000$. Akan dicari nilai dari $L$ dengan mengeliminasi $N$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2L + N & = 37.000 \\ 2L+3N & = 55.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6L + 3N & = 111.000 \\~2L + 3N & = 55.000 \end{aligned} \\ & \rule{4.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4L & = 56.000 \\ L & = 14.000 \end{aligned} \end{aligned}$$ Jadi, upah untuk satu hari lembur adalah Rp14.000,00. Diketahui bahwa Pak Dian bekerja selama $4$ hari dan seluruhnya lembur. Upah yang diterimanya adalah $\boxed{4L = 4(14.000) = \text{Rp}56.000,00}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 22 Suatu larutan mempunyai kadar asam $25\%$ dan larutan lainnya mengandung $65\%$ asam. Berapa liter larutan masing-masing yang dibutuhkan agar diperoleh $8$ liter larutan baru dengan kadar asam $40\%$? A. Larutan pertama $5$ liter dan larutan kedua $3$ liter B. Larutan pertama $3$ liter dan larutan kedua $5$ liter C. Larutan pertama $3$ liter dan larutan kedua $3$ liter D. Larutan pertama $5$ liter dan larutan kedua $5$ liter E. Larutan pertama $7$ liter dan larutan kedua $3$ liter

Misalkan larutan pertama dibutuhkan sebanyak $A$ liter dan larutan kedua dibutuhkan sebanyak $B$ liter. Jumlah larutan secara keseluruhan adalah $8$ liter. Secara matematis, ditulis $\boxed{A+B = 8}$ Larutan pertama mempunyai kadar asam $25\%$ dan larutan kedua mengandung $65\%$ asam. Campuran keduanya menghasilkan $8$ liter larutan baru dengan kadar asam $40\%$. Secara matematis, ditulis $25\%A + 65\%B = 40\% \cdot 8$ Sederhanakan menjadi $\boxed{5A + 13B = 64}$ Dengan demikian, diperoleh SPLDV $\begin{cases} A+B & = 8 && (\cdots 1) \\ 5A +13B & = 64 && (\cdots 2) \end{cases}$ Persamaan $(1)$ ekuivalen dengan $A=8-B$. Substitusi $A=8-B$ pada persamaan $(2)$. $\begin{aligned} 5\color{red}{A} +13B &= 64 \\ \Rightarrow 5(8-B)+13B & = 64 \\ 40-5B+13B & = 64 \\ 8B & = 24 \\ B & = 3 \end{aligned}$ Substitusi $B = 3$ pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} A+\color{red}{B} & =8 \\ A+3 & = 8 \\ A & = 5 \end{aligned}$ Jadi, dibutuhkan larutan pertama sebanyak $5$ liter dan larutan kedua sebanyak $3$ liter. (Jawaban A)

Soal Nomor 23 Elvand memerlukan waktu $2$ jam untuk mendayung $9$ km dengan mengikuti arus dan $6$ jam jika melawan arus. Kecepatan Elvand mendayung air dalam kondisi normal adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ km/jam D. $3$ km/jam B. $1,5$ km/jam E. $4,5$ km/jam C. $2$ km/jam

Misalkan $A, B$ berturut-turut menyatakan kecepatan Elvand saat mendayung dan kecepatan arus sungai dalam satuan km/jam. Dengan demikian, dapat dibuat SPLDV $\begin{cases} 2A+2B & = 9 && (\cdots 1) \\ 6A-6B & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$ Persamaan $(2)$ dapat disederhanakan menjadi $2A-2B = 3$. Eliminasi $A$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2A+2B & = 9 \\ 2A-2B & = 3 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4A & = 12 \\ A & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, kecepatan Elvand mendayung adalah $3$ km/jam. (Jawaban D)

Soal Nomor 24 Sisten persamaan linear $\begin{cases} (p+1)x+(3p-2)y & = p \\ (3p-1)x + (4p+2)y & = 2p \end{cases}$ memiliki solusi yang tak terhingga banyaknya untuk nilai $p = \cdots \cdot$ A. $-1$ atau $0$ D. $0$ atau $3$ B. $0$ atau $1$ E. $-1$ atau $-3$ C. $1$ atau $3$

SPLDV $\begin{cases} a_1x + b_1y & = c_1 \\ a_2x+b_2y & = c_2 \end{cases}$ memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian, apabila $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ Pemenuhan Persamaan Pertama: $\begin{aligned} \dfrac{a_1}{a_2} & = \dfrac{b_1}{b_2} \\ \dfrac{p+1}{3p-1} & = \dfrac{3p-2}{4p+2} \\ (p+1)(4p+2) & = (3p-1)(3p-2) \\ 4p^2+6p+2 & = 9p^2-9p+2 \\ 5p^2-15p & = 0 \\ 5p(p-3) & = 0 \\ p = 0 &~\text{atau}~p=3 \end{aligned}$ Pemenuhan Persamaan Kedua: $\begin{aligned} \dfrac{a_1}{a_2} & = \dfrac{c_1}{c_2} \\ \dfrac{p+1}{3p-1} & = \dfrac{\cancel{p}}{2\cancel{p}} \\ (p+1)(2) & = 3p-1 \\ 2p+2 & = 3p-1 \\ p & = 3 \end{aligned}$ Jelas bahwa $p=3$ akan mengakibatkan SPLDV di atas memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Sekarang, uji $p = 0$. $\begin{cases} (0+1)x+(3(0)-2)y & = 0 \\ (3(0)-1)x + (4(0)+2)y & = 2(0) \end{cases}$ Sederhanakan menjadi $\begin{cases} x-2y & = 0 && (1) \\ -x+2y & = 0 && (2) \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $(1)$ dan $(2)$ ekuivalen sehingga akan ada tak hingga banyaknya penyelesaian untuknya. Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=0$ atau $p=3$. (Jawaban D)