Materi Statistika Kelas 12

Statistics Of Data Variety And Standard Deviation For Android

Statistik SMK Kelas XII TI

1. A. PENGERTIAN STATISTIKA, STATISTIK, POPULASI DAN SAMPEL 1. Statistik dan Statistika Statistik adalah nilai – nilai yang diperoleh dari sampel Statistika adalah suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian , analisa data dan pengambilan kesimpulan dari sifat-sifat yang ada. 2. Populasi dan Sampel Sampel adalah observasi yang dilakukan terhadap sebagian dari objek dengan tujuan memperoleh gambaran mengenai keseluruhan objek. Populasi adalah keseluruhan objek yang diteliti 3. Macam – macam data Data (datum) adalah sekumpulan bilangan atau keterangan yang dapat menerangkan sesuatu. Data ada 2 macam : 1. Data kuantitatif : data yang berbentuk bilangan Contoh : data tentang tinggi badan, penghasilan, dll Data kuantitatif dibedakan menjadi 2 yaitu: a. Data Diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung. Contoh :  Satu kg telur berisi 16 butir  Banyaknya siswa SMK 2 Wonogiri tiap kelas adalah 32 orang  Banyaknya mobil di area parkir berdasar jenisnya, misal: sedan 15 buah, pick-up 25 buah, minibus 30 buah. b. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dengan mengukur atau menimbang dengan menggunakan alat. Contoh :  Berat rata-rata telur ayam adalah 60 gram  Diameter gear belakang sepeda motor adalah 49 mm  Panjang pipa 155 cm 2. Data kualitatif : data yang tidak berhubungan dengan bilangan Contoh : jenis kelamin, status perkawinan, warna kulit, dll
2. B. TABEL DAN DIAGRAM 1. Penyajian data dengan tabel a. Tabel distribusi frekuensi tunggal Tabel ini diperuntukkan bagi data yang jumlahnya tidak terlalu banyak. Contoh : data nilai ulangan matematika dari 20 siswa : 5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 8, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6 Dari nilai diatas dapat dibuat tabel sebagai berikut: Nilai Turus Frekuensi 4 III 3 5 III 3 6 IIII 4 7 III 3 8 IIII 5 9 I 1 10 I 1 ∑f = 20 b. Tabel distribusi frekuensi bergolong (berkelompok) Tabel ini dipergukakan untuk data yang jumlahnya cukup banyak. Contoh : Data pengukuran tinggi badan 40 siswa kelas III otomotif. 141, 143, 155, 160, 158, 162, 157, 160, 157, 158 142, 148, 156, 165, 159, 158, 148, 161, 158, 157 149, 149, 157, 168, 161, 160, 153, 158, 159, 162 150, 151, 159, 163, 163, 159, 155, 152, 160, 161 Data ini dapat dibuat tabel dengan menggunakan aturan Sturges dimana banyaknya kelas dirumuskan k= 1 + 3,3 log n , n = banyaknya data. Nilai k dibulatkan ke atas. Sedang panjang kelas (interval) =
3. Data diatas dapat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi bergolong sebagai berikut : Nilai Turus Frekuensi 141 – 145 III 3 146 – 150 IIII 5 151 – 155 IIII 5 156 – 160 IIII IIII III 18 161 – 165 IIII II 7 166 – 170 II 2 ∑f = 40 Beberapa istilah dalam tabel distribusi frekuensi data kelompok adalah : 1. Interval kelas ( kelompok data) Interval I : 141 – 145 Interval II : 146 – 150 dst. 2. Batas kelas : membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain Batas Bawah : 141, 146, 151, 156, 161, 166 Batas Atas : 145, 150, 155, 160, 165, 170 3. Tepi Kelas (Batas kelas nyata) Tepi Bawah : 140,5; 145,5; 150,5; 155,5; 160,5; 165,5 Tepi Atas : 145,5; 150,5; 155,5; 160,5; 165,5; 170.5 Tepi Atas = Batas Atas + salah mutlak Tepi Bawah = Batas Bawah – Salah mutlak 4. Lebar kelas Lebar kelas (panjang interval) = Tepi Atas – Tepi Bawah 5. Titik Tengah Titik tengah adalah nilai yang ada di tengah-tengah kelas. Titik Tengah = 2.Penyajian data dengan grafik (diagram) Macam-macam diagram : a. Diagram gambar/lambang/pictogram. Diagram lambang adalah diagram yang menggambarkan keadaan data dengan cara dilambangkan dengan gambar sebagai satuan ukuran.
4. Contoh : Piktogram di bawah ini menunjukkan banyak produksi kapas di tiga buah pabrik. = 1 ton b. Diagram lingkaran Diagram lingkaran adalah penyajian data dengan menggunakan sector- sektor dalam lingkaran, dengan ukuran satuan 360o = 100 % Contoh: Dari hasil survey pemakaian berbagai sabun diterjen yang dilakukan terhadap 80 KK diperoleh hasil sebagai berikut: Attack : 15 KK, Rinso: 20 KK, So Klin: 15 KK, Surf: 12 KK, Total: 8 KK dan Daia: 10 KK. Hasil yang diperoleh digambarkan dalam diagram lingkaran sebagai berikut: Jenis Jumlah Prosentase Sudut Pusat Attack 15 15/80 x 100% = 19% 15/80 x 360o = 67,5o Rinso 20 20/80 x 100% = 25% 20/80 x 360o = 90o So Klin 15 15/80 x 100% = 19% 15/80 x 360o = 67,5o Surf 12 12/80 x 100% = 15% 12/80 x 360o = 54o Total 8 8/80 x 100% = 10% 8/80 x 360o = 36o Daia 10 10/80 x 100% = 12% 10/80 x 360o = 25o Attack; 19% Rinso; 25% So Klin; 19% Surf; 15% Total; 10% Daia; 12% Pabrik A Pabrik B Pabrik C
5. c. Diagram batang d. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram adalah diagram batang yang saling berimpitan ( tepinya berimpit ) 0 1 5 12 17 10 3 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 Poligon adalah garis yang menghubungkan titik tengah bagian atas persegipanjang secara berurutan. Pada ujung skala terakhir diberi nilai satu kelas lagi dengan frekuensi nol maksudnya supaya grafik melekat pada sumbu x. 0 5 10 15 20 25 Attack Rinso So Klin Surf Total Daia 0 1 5 12 17 10 3 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 Poligon
6. Grafik Ogif (Ogive) Nilai Frekuensi Fk ≤ Fk ≥ 22 – 31 3 3 60
7. 32 – 41 8 11 57 42 – 51 10 21 49 52 - 61 15 36 39 62 – 71 12 48 24 72 – 81 8 56 12 82 – 91 3 59 4 92 – 101 1 60 1 Σf = 60 C. UKURAN TENDENSI SENTRAL Ukuran tendensi sentral memberi gambaran bahwa suatu data cenderung memusat ke ukuran atau nilai tertentu. Ukuran tendensi sentral tang akan dibahas dalam pokok ini meliputi rata-rata (mean), median dan modus. Ukuran tendensi sentral untuk data tunggal. 1. Rata – rata ( mean) Rata – rata dari kelompok data x1, x2, x3, ..., xn dapar dihitung menggunakan rumus : Keterangan: = Nilai rata – rata hitung n = banyaknya data xi = nilai data ke-i (1, 2, 3,..., n) Σ = Sigma (jumlah) 0 10 20 30 40 50 60 70 0 2 4 6 8 0 10 20 30 40 50 60 22 - 31 32 - 41 42 - 51 52 - 61 62 - 71 72 - 81 2 fk < fk >
8. Contoh: a. Nilai rata – rata dari data : 5, 5, 7, 8, 10 adalah x̅ = 5+5+7+8+10 5 = 35 5 = 7 b. Nilai rata-rata dari data : 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8 adalah x̅ = 3+4+5+5+6+6+6+7+8+8 10 = 58 10 = 5,8 2. Median. Median adalah nilai tengah dari sekelompok data yang telah diurutkan berdasarkan besarnya nilai data. a. Jika banyaknya data adalah ganjil maka median terletak pada ukuran ke Contoh: Data : 5, 5, 6, 6, 6, , 7, 7, 8, 8, 9 Urutan: 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 Banyaknya data n = 11 maka median terletak pada urutan ke Jadi mediannya adalah 7 b. Jika datanya genap maka median terletak pada urutan ke + Contoh: Data: 4, 4, 5, 5, 6, , ,9 11, 18, 19, 19 Urutan: 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 Banyaknya data n = 12 maka median terletak pada urukan ke-6 dan ke-7 Jadi mediannya adalah = 8,5 3. Modus. Madus adalah nilai atau data yang sering muncul. Contoh: 1) 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8 . Modusnya 8 6 7 8 9 6 7
9. 2) 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9 . Modusnya 7 (muncul 3 kali) dan 9 (muncul 3 kali) 3) 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9. Modusnya tidak ada. Ukuran tendensi sentral untuk data kelompok. 1. Mean (rata-rata) Untuk menghitung rata-rata data kelompok dapat menggunakan 2 cara yaitu: a. Menggunakan cara biasa. Menghitung rata-rata dengan cara biasa dari suatu data yang tersusun dalam distribusi frekuensi dapat menggunakan rumus : = , Σf = n Contoh: Hitunglah rata-rata data pada tabel di bawah ini! Tinggi (cm) Frekuensi (f) 140 – 144 2 145 – 149 4 150 – 154 10 155 – 159 14 160 – 164 12 165 – 169 5 170 – 174 3 Jawab: = 157,7 b. Menghitung rata-rata dengan rata-rata sementara Untuk menghitung rata-rata dengan rata-rata sementara maka tentukan telebih dahulu. Rata-rata sementara diambil dari nilai tengah interval yang mempunyai frekuensi terbanyak. Tinggi (cm) Titik tengah(x) Frekuensi (f) f.x 140 – 144 142 2 284 145 – 149 147 4 288 150 – 154 152 10 1520 155 – 159 157 14 2198 160 – 164 162 12 835 165 – 169 167 5 835 170 – 174 172 3 516 Σf = 50 Σf.x=7885
10. = rata – rata sementara Xi = titik tengah interval kelas f = frekuensi d = xi - Contoh: Rata-ratax̅ = xs̅ + ∑f.d ∑ f = 157 + = 157,7 Tinggi (cm) Titik tengah(xi) D Frekuensi (f) d.f 140 – 144 142 -15 2 -30 145 – 149 147 -10 4 -40 150 – 154 152 -5 10 -50 155 – 159 157 0 14 0 160 – 164 162 5 12 60 165 – 169 167 10 5 50 170 – 174 172 15 3 45 Σf = 50 Σf.d = 35
11. c. Menghitung rata-rata dengan pengkodean Contoh : Tinggi (cm) Frekuensi (f) Titik tengah(xi) Code (c) c.f 140 – 144 2 142 -3 -6 145 – 149 4 147 -2 -8 150 – 154 10 152 -1 -10 155 – 159 14 157 0 0 160 – 164 12 162 1 12 165 – 169 5 167 2 10 170 – 174 3 172 3 9 Σf = 50 Σc.f= 7 Rata-rata ( = = 157 + = 157,7 2. Median. Untuk menentukan nilai median data kelompok tentukan terlebih dahulu frekuensi komulatif. Kelas median terletak pada kelas yang frekuensi komulatifnya ½(n+1). Median dapat dicari dengan rumus: Me = Tb +( ).i Keterangan: Tb = Tepi bawah kelas median Σf = jumlah frekuensi Fks = frekuensi komulatif sebelum kelas median fMe = frekuensi kelas median i = luas kelas = panjang interval
12. Contoh: Tentukan median dari data: Interval nilai (x) frekuensi (f) 41 – 45 1 46 – 50 6 51 – 55 12 56 – 60 8 61 – 65 3 Jawab: Interval nilai (x) frekuensi (f) Fk 41 – 45 1 1 46 – 50 6 7 51 – 55 12 19 56 – 60 8 27 61 – 65 3 30 Σf = 30 Kelas median terletak pada interval kelas 51 – 55 Tb = 51 – 0,5 = 50,5 , fks = 7 , i = 5 , fMe = 12 Median = 50,5 + = 50,5 + 3,33 = 53,83 3. Modus. Modus data kelompok ditentukan dengan rumus: Mo = Tb + Keterangan: Tb = Tepi bawah kelas modus (kelas modus terletak pada kelas yang frekuensinya paling banyak. d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i = panjang interval KelasMedian
13. Contoh : Perhatikan data pada tabel! Interval (x) Frekuensi (f) 21 – 25 2 26 – 30 8 d1 31 – 35 9 36 – 40 6 d2 41 – 45 3 46 – 50 2 Σf =30 Kelas modus terletak pada interval 31 – 35 Tb = 30,5 , d1 = 9 – 8 = 1 , i = 5 , d2 = 9 – 6 = 3 Modus = Tb + = 30,5 + = 30,5 + 1,25 = 31,75 D. UKURAN PENYEBARAN Cara yang praktis untuk memperoleh gambaran data statistik adalah penyajian data dengan statistik lima serangkai, diantaranya : median, kuartil bawah (K1), kuartil atas (K3), data terendah dan data tertinggi. Pada prinsipnya pengertian kuartil, desil dan persentil adalah sama dengan median. Perbedaan terletak pada pembagian atas kelompok data. Median membagi data menjadi dua bagian yang sama, masing – masing 50%. Pengertian Kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama masing – masing 25% dan nilai pembatasnya disebut debagai Kuartil 1 (K1), Kuartil 2 (K2),dan Kuartil 3 (K3). KelasModus
14. Perhatikan gambar berikut: K1 = K2 = Untuk data tunggal K3 = K1 = Tb1 + .i K3 = Tb3 + .i Desil membagi data menjadi 10 bagian yang sama. Untuk data tunggal D = 1, 2, 3, ..., 9 Untuk data kelompok Persentil membagi kelompok data menjadi 100 bagian yang sama. Setiap bagian disebut P10 (persentil 10), P20, P30, ..., P90 25% 25% 25% 25% K1 K2 K3 Dd = d 10 (n + 1) Dd = Tbd +( d 10 ∑ f−fksd fd ) .i Untuk data kelompok
15. Perhatikan gambar! P = 1, 2, 3, ..., 99 n = banyaknya data Untuk data kelompok: Contoh: Diberikan data : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9 Tentukan : K1, K3, D4, P60 Penyelesaian: Data : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9 Urutan data: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 K1 D4 P60 K3 Data K1 pada urutan ke . Jadi K1 = 4 Data K3 pada urutan ke Jadi K3 = 7 Data D4 pada urutan ke ke Jadi D4 = 4 + 0,8(data ke-5 – data ke -4) = 4 + 0,8 (1) = 4,8 Data P60 pada urutan ke- . Jadi P60 = 7 + 0,2(data ke-8 – data ke-7) = 70 + 0,2(1) = 7,2 1. Jangkauan Jangkauan (range) merupakan ukuran penyebaranyang sangat mudah dihitung. Jangkauan dari sekumpulan bilangan adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil. Contoh: P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% Pp = p 100 (n + 1) Pp = Tbp + ( p 100 ∑ f−fksp fp ).i
16. Jangkauan dari pengukuran 8, 5, 5, 6, 7, 4, 6 adalah 8 – 4 = 4 Jangkauan dari pengukuran 1, 3, 4, 6, 7, 9 adalah 9 – 1 = 8 2. Simpangan rata-rata Simpangan (deviasi) rata-rata adalah ukuran penyebaran data yang mencerminkan penyebaran nilai terhadap rata-rata hitungnya. Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan: Keterangan: n = banyaknya data = rata – rata hitung xi = nilai data ke-i Contoh: Tentukan simpangan rata – rata data: 10, 44, 55, 56, 62, 65, 72, 76 Jawab: SR = = = 45+11+0+1+7+10+17+21 8 = 112 8 = 14 Jangkauanantar kuartil = K3 – K1 Jangkauanantar persentil =P90 – P10 Jangkauansemi antarkuartil (simpangankuartil)=½(K3 – K1) SR = ∑ |xi− x̅ |n i=1 n
17. Simpangan rata – rata data kelompok dirumuskan : dimana n = = banyaknya data Contoh : Tentukan simpangan rata – rata data pada table berikut: Interval nilai 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 Frekuensi 2 8 9 6 3 2 Jawab: Interval F f.xi 21 – 25 23 2 46 11 22 26 – 30 28 8 224 6 48 31 – 35 33 9 297 1 9 36 – 40 38 6 228 4 24 41 – 45 43 3 129 9 27 46 – 50 48 2 96 14 28 Σf = 30 Σf.xi=1020 Σf.Ixi-xI=158 Simpangan rata – rata SR = 3. Simpangan baku Simpangan baku( deviasi standar) merupakan akar dari jumlah kuadrat simpangan nilai – nilainya dibagi oleh banyaknya data. Jika diketahui data maka simpangan baku (S) didefinisikan sebagai berikut:
18. Contoh: Tentukan simpangan baku dari data : 2, 3, 6, 8, 11 Jawab: Simpangan baku (S) = = = Sedang simpangan baku untuk data kelompok dirumuskan: S = Contoh: Hitunglah simpangan baku dari data berikut: Interval 21 - 25 26 – 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 46 – 50 Frekuensi 2 8 9 6 3 2 Jawab: Interval Frekuensi (f) 21 -25 2 23 -11 121 242 26 -30 8 28 -6 36 288 31 -35 9 33 -1 1 9 36 – 40 6 38 4 16 96 41 – 45 3 43 9 81 243 46 – 50 2 48 14 196 292 Σf = 30 Σf.(xi-x)2=1270 Simpangan baku (S) =
19. 4. Ragam (varian) Ragam (varian) didefinisikan : R = atau R = 5. Nilai Standar (Z- score) Nilai standar (z-score) merupakan suatu nilai yang menunjukkan sejauh mana suatu nilai menyimpang dari rata – ratanya. Z-score dirumuskan : ZA = Contoh: Andi mendapat nilai 80 untuk mata pelajaran Matematika, sedang rata-rata nilai matematika di kelas itu 60 dan deviasi standarnya 10. Maka nilai standar (Z-score) Andi = 6. Koefisien Variasi ( KV ) Koefisien variasi adalah perbandingan antara standar deviasi dengan nilai rata-rata (mean ) yang dinyatakan dalam persen. Koefisien variasi berguna untuk mengetahui keseragaman dari serangkaian data. Semakin besar koefisien variasi berarti data semakin tidak seragam. Sebaliknya, semakin kecil koefisien variasi berarti data semakin seragam.Besarnya koefisien variasi dapat dihitung dengan rumus: KV = s x̅ x 100 %