Matematika Diskrit Rinaldi Munir

Buku Matematika Diskrit Rinaldi Munir Matematika Diskrit

BUKU MATEMATIKA DISKRIT (RINALDI MUNIR) – Matematika Diskrit

Tugas Besar Matdis (Aplikasi Teori Graf dalam Topologi Jaringan)

Standar

No. 1 Jika suatu toko menjual 3 ukuran T-shirt dengan 6 warna berbeda, dan setiap T-shirt bisa bergambar naga, buaya, atau tidak bergambar sama sekali, berapa jenis T-shirt yang dapat anda beli?

Jawab :

P(n) = P(6) x P(3) x P(3)

= 6 x 3 x 3

= 54 kemungkinan

No. 3 Berapakah jumlah kata (terdiri dari 8 huruf) yang dapat di bentuk dari 26 huruf, tanpa memperhitungkan arti kata yang terbentuk. Buatlah untuk dua kemungkinan (boleh mengulang huruf atau tidak boleh mengulang huruf).

Jawab :

No. 4 Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masing-masing akan ditempatkan di Jakarta, Bogor, dan Bandung. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menepati posisi tersebut?

Jawab :

P(n) = P(6) x P(3) x P(3)

= 6 x 3 x 3

= 54 kemungkinan

No. 16 Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang wanita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4-orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya?

Jawab :

No. 17 Sebuah klub penggemar mobil VW terdiri atas 8 pria dan 6 wanita. Terdapat 1 pasang suami istri di antara anggota klub tersebut. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang terdiri atas 3 pria dan 3 wanita sedemikian sehingga memasukkan salah satu dari suami atau istri itu, tetapi tidak keduanya?

Jawab :

Standar

26. Di antara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari matematika, 20 orang mempelajari fisika, 45 orang mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari dan fisika, 10 mempelajari fisikan dan biologi, dan 30 tidak mempelajari satu pun di antara ketiga bidang tersebut.

(a) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut.

(b) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu di antara ketiga bidang tersebut.

Jawab:

100 – 30 = 70 => 70-(10+7+3+15+10+20)

70 – 65 = 5 orang

a. Mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut adalah 5 orang

b. Mahasiswa yang mempelajari matematika 10 orang, fisika 3 orang, dan biologi 20 orang.

27. Enam puluh ribu suporter sepakbola yang mendukung pertandingna di kandang sendiri membeli habis semua cindera mata untuk mobil meraka. Secara keseluruhan laku terjual 200000 stiker, 36000 bendera kecil, dan 12000 gantungan kunci. Kita diberitahu bahwa 52000 suporter membeli sedikitnya satu cedera mata dan tidak seorangpun membeli suatu cindera mata lebih dari satu. Selain itu, 6000 suporter sadmembeli bendera kecil dan gantungan kunci, 9000 membeli bendera kecil dan stiker, dan 5000 membeli gantungan kunci dan stiker.

(a) Berapa banyak suporter yang membeli ketiga macam cindera mata di atas?

(b) Berapa banyak suporter yang membeli tepat satu cindera mata?

Jawab:

52000 – (6000+9000+21000+5000+6000+1000)

52000 – 48000 => 4000 orang

a. Mahasiswa yang membeli ketiga cindera mata adalah 4000 orang

b. Mahasiswa yang membeli tepat satu cindera mata adalah 6000+21000+1000=> 28000 orang

28. Di antara 50 mahasiswa di dalam kelas, 26 orang memperoleh nilai A dari ujian pertama dan 21 orang memperoleh nilai A dari ujian kedua. Jika 17 orang mahasiswa tidak memperoleh nilai A dari ujian pertama maupun ujian kedua, berapa banyak mahasiswa yang memperoleh dua kali nilai A dari kedua ujian itu?

Jawab:

50 – 17 = 33 orang

x = 26+21-33

= 47-33

= 14 orang

Mahasiswa yang memperoleh 2x nilai A dari kedua ujian tersebut adalah 14 orang

29. Dalam suatu survey pada 60 orang, didapatkan bahwa 25 orang membaca majalah Tempo. 26 orang membaca majalah Gatra, dan 26 orang membaca majalah Intisari. Juga terdapat 9 orang membaca Tempo, dan Intisari, 11 orang membaca Tempo dan Gatra, 8 orang membaca Gatra dan Intisari, dan 8 orang tidak membaca majalah satupun.

(a) Tentukan jumlah orang yang membaca ketiga majalah tersebut.

(b) Tentukan jumlah orang yang benar-benar membaca 1 majalah.

Jawab:

52-(5+7+11+9+8+9)

52 – 49 => 3 orang

a. Jumlah orang yang membaca ketiga majalah tersebut adalah 3 orang

b. Jumlah orang yang benar-benar membaca satu majalah adalah 5+7+9=21 orang

Standar

Beberapa soal dan solusinya

1. Tentukan pernyataan manakah di bawah ini yang merupakan proposisi? Tentukan nilai kebenaran dari pemyataan yang merupakan proposisi.

(a) 3 + 15 = 17

*(Termasuk preporsisi, Bernilai salah, seharusnya 3 + 15 = 18)

(b) Untuk beberapa bilangan bulat n, 600 = n . 15

*(Bukan termasuk preporsisi)

*(Termasuk preporsisi, Bernilai benar)

(d) Setiap bilangan bulat genap lebih dari empat merupakan penjumlahan dua bilangan prima

*(Termasuk preporsisi, Bernilai benar)

(e) Tidak ada orang utan hidup di kota

*(Termasuk preporsisi, tidak dapat dibuktikan kebenarannya)

(f) Ambil 5 buah buku di atas meja

*(Termasuk preporsisi, tidak dapat dibuktikan kebenarannya)

(g) 4 + x = 5

*(Bukan termasuk preporsisi

2. Misalkan p adalah “Iwan bisa berbahasa Inggris”, q adalah “Iwan bisa berbahasa Jerman” dan r adalah “Iwan bisa berbahasa Perancis”. Terjemahkan kalimat majemuk berikut ke dalam notasi simbolik:

(a) Iwan bisa berbahasa Inggris atau Jerman

*( p v q)

(b) Iwan bisa berbahasa Jerman tetapi tidak bahasa Perancis

*(p ^ ~ r)

*((p V q) V (~ r v ~ a))

(d) Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Inggris atau bahasa Perancis

*( ~ ( p v r ) )

(e) Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Inggris atau bahasa Perancis tetapi tidak bahasa Jerman

*( ~ ( p v r ^ ~ q) )

(f) Tidak benar bahwa Iwan tidak bisa berbahasa Inggris, Perancis, maupun Jerman

*( ~ ( ~ p ^ ~ r ^ ~ q ) )

3. Untuk menerangkan karakteristik mata kuliah X, misalkan p : “Kuliahnya menarik”, dan q “Dosennya enak”, r : “Soal-soal ujiannya mudah”. Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik (menggunakan p, q, r):

(d) Kuliahnya tidak menarik, dosennya tidak enak, dan soal-soal ujiannya tidak mudah.

*( ~ p ^ ~ q ^ ~ r)

(e) Kuliahnya menarik atau soal-soal ujiannya tidak mudah, namun tidak keduanya.

*( p v ~ r ^ ( ~ p ^ ~ r ) )

(f) Salah bahwa kuliahnya menarik berarti dosennya enak dan soal-soal ujiannya mudah.

*( ~ ( p – > q ^ r ) )

4. Diberikan pemyataan “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik”

(a) Nyatakan pemyataan di atas dalam notasi simbolik.

*( ~ ( ~ p ^ ~ r ) )

(b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut (petunjuk: gunakan Hukum de Morgan).

*( ~ ( ~ p ^ ~ q ) < = > p v q ) )

5. Untuk menerangkan mutu sebuah perangkat lunak yang beredar di pasaran, kita misalkan p adalah pernyataan “Tampilan antarmukanya (interface) menarik”, q pernyataan “Cara pengoperasiannya mudah”, dan r pernyataan “Perangkat lunaknya bagus sekali”. Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk simbolik:

(a) Tidak benar bahwa tampilan antarmukanya menarik maupun cara pengoperasiannya sulit.

*( ~ ( p ^ ~ q ) )

(b) Tampilan antarmukanya menarik atau cara pengoperasiannya mudah, namun tidak keduanya.

*( p v q ^ ( ~ p ^ ~ q ) )

(c) Perangkat lunak yang bagus sekali selalu berarti bahwa tampilan antarmukanya menarik dan cara pengoperasiannya mudah, begitu sebaliknya.

*( r → p ^ q )

Standar

Contoh – contoh sebagai berikut:

1. Cloud

Di mana sebuah infrastruktur layanan cloud, dioperasikan hanya untuk sebuah organisasi tertentu. Infrastruktur cloud itu bisa saja dikelola oleh si organisasi itu atau oleh pihak ketiga. Lokasinya pun bisa on-site ataupun off-site. Biasanya organisasi dengan skala besar saja yang mampu memiliki/mengelola private cloud ini.

Community cloud
Dalam model ini, sebuah infrastruktur cloud digunakan bersama-sama oleh beberapa organisasi yang memiliki kesamaan kepentingan, misalnya dari sisi misinya, atau tingkat keamanan yang dibutuhkan, dan lainnya.

Jadi, community cloud ini merupakan “pengembangan terbatas” dari private cloud. Dan sama juga dengan private cloud, infrastruktur cloud yang ada bisa di-manage oleh salah satu dari organisasi itu, ataupun juga oleh pihak ketiga.
Public cloud
Sesederhana namanya, jenis cloud ini diperuntukkan untuk umum oleh penyedia layanannya. Layanan-layanan yang sudah saya sebutkan sebelumnya dapat dijadikan contoh dari public cloud ini.
Hybrid cloud
Untuk jenis ini, infrastruktur cloud yang tersedia merupakan komposisi dari dua atau lebih infrastruktur cloud (private, community, atau public). Di mana meskipun secara entitas mereka tetap berdiri sendiri-sendiri, tapi dihubungkan oleh suatu teknologi/mekanisme yang memungkinkan portabilitas data dan aplikasi antar cloud itu. Misalnya, mekanisme load balancing yang antarcloud, sehingga alokasi sumberdaya bisa dipertahankan pada level yang optimal.

Demikian sedikit penjelasan dari model-model cloud yang disarikan dari NIST. Namun seperti diakui oleh lembaga ini, definisi dan batasan dari Cloud Computing sendiri masih mencari bentuk dan standarnya. Di mana nanti pasarlah yang akan menentukan model mana yang akan bertahan dan model mana yang akan mati.

Namun semua sepakat bahwa cloud computing akan menjadi masa depan dari dunia komputasi. Bahkan lembaga riset bergengsi Gartner Group juga telah menyatakan bahwa Cloud Computing adalah wacana yang tidak boleh dilewatkan oleh seluruh pemangku kepentingan di dunia TI, mulai saat ini dan dalam beberapa waktu mendatang.

2. Smart City

Smart City adalah sebuah konsep kota cerdas/pintar yang membantu masyarakat yang berada di dalamnya dengan mengelola sumber daya yang ada dengan efisien dan memberikan informasi yang tepat kepada masyarakat/lembaga dalam melakukan kegiatannya atau pun mengantisipasi kejadian yang tak terduga sebelumnya. Smart Citycenderung mengintegrasikan informasi di dalam kehidupan masyarakat kota.

Untuk itu, idwebdata menawarkan aplikasi Smart City, dimana aplikasi Smart City merupakan suatu layanan berbasis sistem satu atap, dengan memberikan layanan secara terpadu.Smart City menawarkan satu set lengkap layanan IT termasuk situs internet dan aplikasi, layanan hosting dan layanan dukungan profesional lainnya yang disesuaikan untuk setiap pelanggan kami.

3. Perencanaan kota

4. Jaringan Komputer

Komputer adalah kumpulan komputer yang berkomunikasi satu sama lain melalui media jaringan, dua komputer atau lebih yang terhubung. Ketika komputer tergabung dalam jaringan, orang dapat berbagi file dan perangkat seperti modem, printer, harddisk penyimpanan, atau CD- ROM drive. Mungkin beberapa dari Anda (dulunya) berbagi file antara komputer menggunakan USB Flashdisk atau memory card, tapi dalam jaringan memungkinkan Anda untuk berbagi file lebih cepat, lebih nyaman, lebih efesien dan efektif.

Keuntungan Membangun Jaringan Komputer

Berbagi File (file sharing), berbagi file dalam jaringan lebih fleksibel dibanding menggunakan USB Flashdisk atau memory card. Bukan hanya bisa berbagi foto, musik dan dokumen, tapi anda juga bisa backup / copy semua file data penting ke beda komputer. Backup adalah salah satu tugas yang paling penting dilakukan untuk menjaga file-file penting Anda. Atau anda dapat menggunakanBackup Data Online Gratis Dengan Dropbox lternatif untuk backup file penting Anda.

Berbagi printer, Anda tidak perlu membeli 1 printer per komputer, dalam jaringan sangat mudah untuk membuat semua komputer bisa memakai hanya 1 printer.
Berbagi koneksi Internet, dengan menggunakan jaringan, semua keluarga dapat mengakses koneksi internet bersamaan tanpa harus membayar ISP atau provider internet masing-masing perorang.
Bermain Games (multiplayer games), sudah banyak games yang support dimainkan bersama-sama dalam jaringan, anda bisa bermain atau interaksi dalam games bersama-sama keluarga ataupun teman.