Sudut Antara Dua Vektor

Perkalian Skalar Dua Vektor Materi Lengkap Matematika Sma

Rumus dan Sifat Perkalian Titik (Dot Product) 2 Vektor Beserta Contoh Soal dan Pembahasan

Definisi dan Rumus Perkalian Titik Dua Vektor

Selain perkalian vektor dengan skalar, vektor juga dapat dikalikan dengan vektor yang lainnya. Ada dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor, yaitu perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Nah dalam artikel kali ini kita akan membahas mengenai perkalian titik dua buah vektor. Apa yang dimaksud dengan perkalian titik? Bagimana dengan rumus dan sifat-sifatnya? Untuk bisa memahami perkalian titik, perhatikan gambar berikut ini.

Perkalian titik atau dot product dua buah vektor didefinisikan sebagai perkalian antara besar salah satu vektor (misalA) dengan komponen vektor kedua (B) pada arah vektor pertama (A). Pada gambar di atas, komponen vektor B pada arah vektor A adalah B cos α. Dari pengertian perkalian titik tersebut, maka rumus atau persamaan perkalian titik antara vektor A dan vektor B dapat dituliskan sebagai berikut.

	A . B = AB cos α = \|A\|\|B\| cos α

Keterangan:
α	= sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o
A	= \|A\| besar vektor A
B	= \|B\| besar vektor B

Dari persamaan perkalian titik di atas maka dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar. Simbol dari perkalian titik adalah “.” (baca: dot). Karena hasil perkalian titik adalah skalar maka perkalian titik atau dot product disebut juga dengan perkalian skalar atau skalar product. Dalam perkalian titik ada tiga poin penting yang perlu kalian perhatikan.

1.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (𝛼 = 90o) maka
	A . B = 0 → cos 90o = 0
2.	Jika kedua vektor A dan B searah (𝛼 = 0o) maka
	A . B = AB → cos 0o = 1
3.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (𝛼 = 180o) maka
	A . B = - AB → cos 180o = -1

Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor ruang yang telah diuraikan ke dalam sumbu X(i),Y(j) dan Z(k) yang besarnya satu satuan. Perhatikan gambar di atas. vektor satuan i, j, dan k merupakan vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o karena nilai ketiga vektor tersebut adalah 1, maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut adalah sebagai berikut:

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit)

i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus)

Dengan menggunakan hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita dapat mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:

A . B	=	(Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
A . B	=	Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk +Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk
		→ karena i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka
A . B	=	Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk
A . B	=	Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk
		→ karena i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka
A . B	=	AxBx + AyBy + AzBz

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian titik antara dua vektor satuan dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z) adalah sebagai berikut:

A	=	Axi + Ayj + Azk
B	=	Bxi + Byj + Bzk

Maka

A . B

AxBx + AyBy + AzBz

Jika A, B dan C adalah sembarang vektor dan k ∈ R adalah skalar, maka sifat perkalian titik antara vektor vektor tersebut adalah sebagai berikut.

Perkalian titik memiliki sifat komutatif, yaitu

A . B = B . A

Perkalian titik memiliki sifat asosiatif, yaitu

(kA) . B = k(A . B) = A . (kB)

Dan terakhir, perkalian titik memiliki sifat distributif, yaiut

A . (B + C) = A . B + A . C

Contoh Soal Perkalian Titik Dua Vektor dan Pembahasan

Untuk lebih memahami penerapan rumus perkalian titik dua buah vektor, silahkan kalian pahami beberapa contoh soal perkalian titik dua buah vektor beserta pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal #1

Sebuah balok berada pada bidang datar licin ditarik oleh gaya F sebesar 200 N dengan arah membentuk sudut 60° terhadap arah horisontal. Pada saat balok berpindah 8 m, tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F tersebut.

Penyelesaian:

Usaha dapat didefinisikan sebagai perkalian titik antara gaya yang bekerja selama perpindahannya. Berarti dapat diperoleh:

W = F . s

W = F . s cos θ

W = F s cos θ

W = 200 N . 8 m . cos 60°

W = 200 N . 8 m . ½

W = 800 Nm

Jadi, usaha yang dilakukan oleh gaya pada balok di tersebut adalah 800 joule ( 1 Nm = 1 joule)

Contoh Soal #2

Tentukan hasil perkalian titik antara dua vektor satuan berikut ini.

A = 3i + 4j + 6k

B = 8i + 5j – 8k

Penyelesaian:

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A . B = 3 . 8 + 4 . 5 + 6 . (– 8)

A . B = 24 + 20 – 48

A . B = – 4

Contoh Soal #3

Diketahui vektor A = 2i + 5j + 3k dan B = i + 2j – 3k. Tentukan sudut yang dibentuk antara kedua vektor tersebut.

penyelesaian

rumus perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut :

A . B = |A|.|B| cos α

Pertama kita tentukan besar masing-masing vektor satuan tersebut

|A| = √(22 + 52 + 32)

|A| = √38

|B| = √(12 + 22 + -32)

|B| = √14

Kedua kita tentukan besar perkalian titik vektor satuannya sebagai berikut

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A . B = 2 . 1 + 5 . 2 + 3 . (– 3)

A . B = 2 + 10 – 9

A . B = 3

Kemudian kita kembali ke rumus perkalian titik sebelumnya

A . B	= \|A\|.\|B\| cos α
3	= (√38)( √14) cos α
3	= √532 cos α
3	= 23,07 cos α
cos α	= 3/23,07
cos α	= 0,13
α	≈ 82,53o

Dengan demikian sudut yang dibentuk antara vektor A dan vektor B adalah 83o.

Demikianlah artikel tentang pengertian, rumus dan sifat perkalian titik (dot product) dua vektor beserta contoh soal cara menentukan hasil perkalian titik dan sudut antara dua vektor satuan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.