Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers

Soal Matematika Fungsi Komposisi Contoh Soal

Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Berikut ini adalah kumpulan beberapa soal mengenai komposisi dan invers fungsi (tingkat SMA/Sederajat) disertai pembahasannya. Beberapa soal dikumpulkan dari Ujian Nasional tahun-tahun sebelumnya. Catatan: Setiap fungsi dalam hal ini selalu terdefinisi untuk $x$ tertentu. Sebagai contoh, jika suatu fungsi $f(x) = \dfrac{a} {bx}$ diberikan, maka syarat fungsi tersebut terdefinisi adalah $x \neq 0$. Syarat ini biasanya ditulis di samping rumus fungsinya (untuk menekankan syarat fungsi itu agar terdefinisi). Kadang pula tidak ditulis karena dianggap sudah lazim untuk mengetahui bahwa nilai variabel yang bersangkutan sudah pasti di luar domain.

Quote by Maria Robinson

Tidak ada seorang pun yang bisa kembali ke masa lalu dan memulai awal yang baru lagi, tetapi semua orang bisa memulai hari ini dan membuat akhir yang baru.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1 Diketahui $f = \{(2,4), (3,7), (5,13), (7,19)\}$, $g = \{(5,20), (7,28), (13,52)\}$, dan $h = \{(20,-15), (28,-23), (52,-47)\}$. Hasil dari $(h \circ g \circ f) (5)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-47$ D. $20$ B. $-23$ E. $28$ C. $-15$

Perhatikan bahwa pada fungsi $f$, bilangan $5$ dipetakan ke $13$ sehingga menjadi $(5,13)$. Lalu pada fungsi $g$, bilangan $13$ dipetakan ke $52$ sehingga menjadi $(13,52)$. Terakhir pada fungsi $h$, bilangan $52$ dipetakan ke $-47$ sehingga menjadi $(52,-47)$. Jadi, hasil dari $\boxed{(h \circ g \circ f) (5) =-47}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 2 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2012) Diketahui fungsi $f(x) = 3x-1$ dan $g(x) = 2x^2-3$. Fungsi komposisi $(g \circ f)(x) = \cdots \cdot$ A. $9x^2-3x + 1$ B. $9x^2-6x + 3$ C. $9x^2-6x + 6$ D. $18x^2-12x + 2$ E. $18x^2-12x-1$

Diketahui $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x-1)$ Karena fungsi $g(x) = 2x^2-3$, maka $\begin{aligned} g(3x-1) & = 2(3x-1)^2-3 \\ & = 2(3x-1)(3x-1)-3 \\ & = 2(9x^2-3x-3x + 1)-3 \\ & = 18x^2-6x-6x + 2-3 \\ & = 18x^2-12x-1 \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{(g \circ f)(x) = 18x^2-12x- 1}$ (Jawaban E)

Soal Nomor 3 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013) Diketahui $f(x) = x^2-4x + 2$ dan $g(x) = 3x + 5$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = \cdots \cdot$ A. $3x^2-4x + 5$ B. $3x^2-12x + 7$ C. $3x^2-12x + 11$ D. $9x^2 + 18x + 7$ E. $9x^2 + 26x + 7$

Diketahui $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5)$ Karena $f(x) = x^2-4x + 2$, maka $$\begin{aligned} f(3x+5) & = (3x+5)^2- 4(3x+5) + 2 \\ & = (9x^2 + 30x + 25)- 12x-20 + 2 \\ & = 9x^2 + 18x + 7 \end{aligned}$$Jadi, fungsi komposisi $\boxed{(f \circ g)(x) = 9x^2 + 18x + 7}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 4

Diketahui $g(x) = 2x- 4$ dan $(f \circ g) (x) = \dfrac{7x+3}{5x-9}$. Nilai dari $f(2)= \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $5$ B. $1$ D. $4$

Diketahui $g(x) = 2x-4$, sehingga $\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x-4) \\ & = \dfrac{7x+3}{5x-9} \end{aligned}$ Agar, $f(2) = f(2x-4)$ terpenuhi, maka haruslah persamaan $2 = 2x-4$ berlaku, sehingga nilai $x = 3$. Selanjutnya, $\begin{aligned} f(2(3)-4) &= \dfrac{7(3)+3}{5(3)-9} \\ f(2) & = 4 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $f(2)$ adalah $\boxed{4}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 5

Diketahui $f(x) = 2x-1$ dan $(g \circ f) (x) = 4x^2-10x + 5$. Nilai $g(-1)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $3$ E. $7$

B. $1$ D. $5$

Diketahui $f(x) = 2x- 1$, sehingga dapat ditulis $\begin{aligned} (g \circ f) (x) = g(f(x)) = & = 4x^2-10x+5 \\ g(2x-1) & = 4x^2-10x+5 \end{aligned}$ Dalam hal ini, $2x-1 = 1$ karena yang ditanyakan adalah $g(-1)$, dan selanjutnya diperoleh $\begin{aligned} 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$ Jadi, untuk $x = 0$, didapat $g(-1) = 4(0)^2-10(0) + 5 = 5$ Jadi, nilai dari $g(-1)$ adalah $\boxed{5}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 6

Jika $g(x- 2) = 2x-3$ dan $(f \circ g) (x-2) = 4x^2-8x + 3$, maka $f(-3) = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $3$ E.$7$ B. $1$ D. $5$

Alternatif 1: Diketahui $g(x-2)= 2x-3$, sehingga $\begin{aligned} (f \circ g) (x-2) & = f(g(x-2)) \\ & = f(2x-3) = 4x^2-8x + 3 \end{aligned}$ Dalam hal ini, $2x-3 =-3$ atau nantinya diperoleh $x = 0$, karena yang ditanyakan adalah $f(-3)$. Jadi, untuk $x = 0$, diperoleh $f(-3) = 4(0)^2-8(0) + 3 = 3$ Alternatif 2: Membentuk unsur fungsi $$\begin{aligned} (f \circ g) (x-2) = f(g(x-2)) & = f(2x-3) = 4x^2-8x + 3 \\ f(2x-3) & = (2x-3)^2 + 4x-6 \\ f(2x-3) & = (2x-3)^2 + 2(x-3) \\ f(x) & = x^2 + 2x \end{aligned}$$Jadi, haruslah $f(-3) = (-3)^2 + 2(-3)= 9-6 = 3$ (Jawaban C)

Soal Nomor 7

Diketahui fungsi $f(x) = \dfrac{2x-4}{5-x}, x \neq 5$, dan $g(x) = 3x + 7$. Fungsi invers dari $(g \circ f) (x) = \cdots \cdot$ A. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{-1+x}$ B. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x+23}{-1+x}$ C. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x+23}{1+x}$ D. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{1+x}$

E. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{-5x-23}{1+x}$

Akan dicari $(g \circ f) (x)$ sebagai berikut. $\begin{aligned} (g \circ f) (x) &= g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) +7 \\ & = \dfrac{6x-12}{5-x} + \dfrac{7(5- x)} {5-x} \\ & = \dfrac{-x+23}{5-x} \end{aligned} $ Misalkan $y = (g \circ f) (x)$, maka diperoleh $\begin{aligned} y & = \dfrac{-x+23}{5-x} \\ 5y-xy & =-x + 23 \\ 5y-23 & = x(-1 + y) \\ x = (g \circ f)^{-1} (y) & = \dfrac{5y-23}{-1+y} \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{-1+x}} $ (Jawaban A)

Soal Nomor 8

Diketahui $f(x) = 2-x$ dan $g(x) = 2x + a + 1$. Jika $(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x) $, berapa nilai $a$? A. $-4$ C. $0$ E. $4$

B. $-2$ D. $2$

Informasi pada soal memberikan $\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = (g \circ f) (x) \\ f(g(x)) & = g(f(x)) \\ f(2x + a + 1) & = g(2-x) \\ 2-(2x + a + 1) & = 2(2-x) +a + 1 \\ 2-2x-a-1 & = 4-2x + a + 1 \\-a + 1 & = a + 5 \\-2a & = 4 \\ a & =-2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{-2}$. (Jawaban B)

Soal Nomor 9

Jika $f(x) = 2p + 8$ dan $g(x) = 3x-6$, serta $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac52$ C. $-\dfrac12$ E. $\dfrac52$

B. $-\dfrac32$ D. $\dfrac32$

Informasi pada soal memberikan $\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = (g \circ f)(x) \\ f(g(x)) & = g(f(x)) \\ f(3x-6) & = g(2p+8) \\ 2p + 8 & = 3(2p+8)-6 \\ 6 & = 2(2p +8) \\ 3 & = 2p + 8 \\-5 & = 2p \\ p & =-\dfrac{5}{2} \end{aligned}$ Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{-\dfrac{5}{2}}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 10 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013) Diketahui fungsi $g(x) = \dfrac{x+1}{2x-3}, x \neq \dfrac{3}{2}$. Invers fungsi $g$ adalah $g^{-1}(x) = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{3x+1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}$ C. $\dfrac{-3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}$ D. $\dfrac{3x-1}{2x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2}$ E. $\dfrac{-3x + 1}{2x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2}$

Misalkan $g(x) = y$, sehingga fungsi $g$ di atas dapat ditulis menjadi $\begin{aligned} y & = \dfrac{x+1}{2x-3} \\ y(2x-3) & = x + 1 \\ 2xy- 3y- x & = 1 \\ x(2y-1) & = 1 + 3y \\ x & = \dfrac{1+3y}{2y-1} = \dfrac{3y + 1}{2x-1} \\ f^{-1}(y) & = \dfrac{3y + 1}{2y-1} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{3x + 1}{2x-1} \end{aligned}$ Jadi, fungsi invers $g$ adalah $\boxed{\dfrac{3x + 1}{2x-1}}$ dengan syarat $x \neq \dfrac{1}{2}$ (agar penyebutnya tak nol) (Jawaban B)

Soal Nomor 11 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2014) Diketahui $f(x) = 4x + 2$ dan $g(x) = \dfrac{x-3}{x+1}, x \neq-1$. Invers dari $(g \circ f)(x)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x+1}{3x+4}, x \neq-\dfrac{4}{3}$ B. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x-1}{-3x+4}, x \neq-\dfrac{4}{3}$ C. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x-1}{4x+4}, x \neq-1$ D. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1$ E. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+4}{4x+4}, x \neq-1$

Diketahui $\begin{aligned} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(4x+2) \\ & = \dfrac{(4x+2)-3}{(4x+2)+1} \\ & = \dfrac{4x-1}{4x+3} \end{aligned}$ Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari fungsi komposisi $f$ dan $g$. Misalkan $y = (g \circ f)(x)$, sehingga dapat ditulis

$\begin{aligned} y & = \dfrac{4x-1}{4x+3} \\ y(4x+3) & = 4x-1 \\ 4xy + 3y & = 4x-1 \\ 4xy-4x & =-3y-1 \\ x(4y-4) & =-3y-1 \\ x& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(y)^{-1}& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{-3x-1}{4x-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{3x+1}{4-4x} \end{aligned}$ Jadi, invers dari $(g \circ f)(x)$ adalah $\boxed{(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1}$

(Jawaban D)

Soal Nomor 12

Jika $g^{-1}$ adalah invers dari $g(x) = \dfrac{8-3x} {4-x}, x \neq 4$, maka nilai $g^{-1}(4) = \cdots \cdot$ A. $-8$ C. $4$ E. $16$ B. $0$ D. $8$

Akan dicari invers dari fungsi $g$. Misalkan $g(x) = y$, maka diperoleh $\begin{aligned} y & = \dfrac{8-3x}{4-x} \\ y(4-x) & = 8-3x \\ 4y-xy + 3x & = 8 \\ x(3-y) & = 8-4y \\ x = g^{-1}(y) & = \dfrac{8-4y} {3-y} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{8-4x} {3-x} \end{aligned}$ Jadi, invers fungsi $g$ adalah $g^{-1}(x) = \dfrac{8-4x} {3-x}$ sehingga $\boxed{g^{-1}(4) = \dfrac{8-4(4)}{3-4}= \dfrac{-8}{-1} = 8}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 13

Diketahui $f(x) = \dfrac{5-4x} {7x-3}$. Bila $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x)$, maka $f^{-1}(x)= \cdots \cdot$ A. $\dfrac{5+3x}{7x+4}$ D. $\dfrac{3x-5}{7x+4}$ B. $\dfrac{5-3x}{7x+4}$ E. $\dfrac{3x-5}{7x-4}$

C. $\dfrac{5-3x}{7x-4}$

Misalkan $f(x) = y$, maka diperoleh $\begin{aligned} y & = \dfrac{5-4x} {7x-3} \\ y(7x-3) & = 5-4x \\ 7xy-3y + 4x & = 5 \\ x(7y + 4) & = 5 + 3y \\ x = f^{-1}(y) & = \dfrac{5+3y} {7y+4} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{5+3x} {7x+4} \end{aligned}$ Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{5+3x}{7x+4}} $ (Jawaban A)

Soal Nomor 14

Diketahui fungsi $f = \{(1, 2), (2,3), (3,4), (4,5)\}$, dan $(g \circ f) = \{(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)\}$, maka $g^{-1}(7) = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $4$ E. $7$

B. $3$ D. $6$

Perhatikan bahwa fungsi $f$ mengaitkan $1$ ke $2$, sedangkan fungsi komposisi $f \circ g$ mengaitkan $1$ ke $5$. Ini berarti fungsi $g$ mengaitkan $2$ ke $$5 (ingat kembali pengertian komposisi fungsi). Analog dengan ini, fungsi g mengaitkan $3$ ke $6$, $4$ ke $7$, dan $5$ ke $8$ atau ditulis $g = \{(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)\}$ sehingga $g^{-1} = \{(5,2), (6,3), \boxed{(7,4)}, (8,5)\}$ Jadi, $\boxed{g^{-1}(7) = 4}$. (Jawaban C)

Soal Nomor 15

Jika $f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}$, maka nilai $f^{-1}(1)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-5$ C. $-1$ E. $5$

B. $-3$ D. $3$

Misalkan $f^{-1}(1) = a$, maka $f(a) = 1$. Diketahui $f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}$ sehingga untuk $a = \dfrac{3}{2x-3}$, maka haruslah $\begin{aligned} \dfrac{2x+3}{x+4} & = 1 \\ 2x+3 & = x + 4 \\ x & = 1 \end{aligned}$ Dengan demikian, $a = \dfrac{3}{2x-3} = \dfrac{3}{2(1)-3} = \dfrac{3}{-1} =-3$ Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(1) =-3}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 16

Diketahui $(g^{-1} \circ f^{-1}) (x) =-2x + 4$ dengan $f^{-1}$ dan $g^{-1}$ berturut-turut adalah invers fungsi $f$ dan $g$. Jika $f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}, x \neq 5$, maka $g(6)=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $16$ E. $24$

B. $12$ D. $18$

Diketahui bahwa $(g^{-1} \circ f^{-1}) (x) = (f \circ g)^{-1}(x) =-2x + 4$ Misalkan $(f \circ g)^{-1}(x) = y$, maka diperoleh $\begin{aligned} y & =-2x + 4 \\ y-4 & =-2x \\ x& = \dfrac{4-y} {2} \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $(f \circ g) (x) = f(g(x)) = \dfrac{4-x} {2}$ Sekarang, misalkan $g(x) = y$, dan diketahui juga $f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}$, maka didapat $\begin{aligned} f(y) & = \dfrac{4-x} {2} \\ \dfrac{-y-2}{2y-10} & = \dfrac{4-x}{2} \\-2y-4 & =-2xy + 8y + 10x-40 \\ y(-10 + 2x) & = 10x-36 \\ y = g(x) & = \dfrac{10x-36}{-10+2x} \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{g(6) = \dfrac{10(6)-36}{-10+2(6)} = \dfrac{24}{2} = 12}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 17

Diketahui fungsi $f(x) = 3x+4$ dan $g(x) = \dfrac{4x-5}{2x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2}$. Invers $(f \circ g) (x)$ adalah $\cdots \cdot$ A. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10$ B. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{2x+20}, x \neq -10$ C. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{2x-20}, x \neq 10$ D. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-x+11}{-2x+20}, x \neq 10$ E. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-x-11}{-2x+20}, x \neq 10$

Akan dicari $(f \circ g) (x) $ sebagai berikut. $\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) +4 \\ & = \dfrac{12x-15}{2x+1} + \dfrac{4(2x+1)} {2x+1} \\ & = \dfrac{20x-11}{2x+1} \end{aligned}$ Sekarang, misalkan $y = (f \circ g) (x)$, maka diperoleh $\begin{aligned} y &= \dfrac{20x-11}{2x+1} \\ y(2x+1) & = 20x-11 \\ 2xy + y & = 20x-11 \\ y + 11 & = 20x-2xy \\ y + 11 & = x(-2y + 20) \\ x = (f \circ g)^{-1}(y) & = \dfrac{y+11}{-2y+20} \end{aligned}$ Jadi, diperoleh invers $(f \circ g) (x) $, yaitu $\boxed{(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 18

Diketahui $f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}$, $g(x) = x-2$, dan $(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \dfrac{7}{2}$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $8$ E. $12$

B. $4$ D. $10$

Perhatikan bahwa

$$\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)^{-1}(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)\left(\dfrac{7}{2}\right) &= 2 \\ f\left(g\left(\dfrac{7}{2}\right)\right) & = 2 \\ f\left(\dfrac{7}{2}-2\right) & = 2 && (\text{Ingat}~g(x) = x-2) \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right) & = 2 \\ \dfrac{\dfrac{3}{2}a + 1}{3\left(\dfrac{3}{2}\right)-1} & = 2 && \left(\text{ Ingat}~f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}\right)\\ \dfrac{3}{2}a + 1 & = 9-2 = 7 \\ a & = 6 \times \dfrac{2}{3} \\ a & = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{4}$

(Jawaban B)

Soal Nomor 19 Diketahui $f(x^2+x) = 2x + 1$ dan $g(x) = \dfrac{3x-1}{x-1}$. Nilai $x$ yang memenuhi $(f \circ g^{-1})(x) = 3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $4$ E. $6$ B. $3$ D. $5$

Tinjau fungsi $f(x^2 + x) = 2x + 1$. Misalkan $y = x^2 + x$, berarti diperoleh $\begin{aligned} y & = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} \\ y + \dfrac{1}{4} & = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \\ x + \dfrac{1}{2} & = \sqrt{y + \dfrac{1}{4}} \\ x & = \sqrt{y + \dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$ Substitusikan ke fungsinya. $\begin{aligned} f(y) & = 2\left(\sqrt{y + \dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{2}\right) + 1 \\ f(y) & = 2\sqrt{y + \dfrac{1}{4}} \\ f(x) & = 2\sqrt{x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned}$ Selanjutnya, tinjau fungsi $g(x) = \dfrac{3x-1}{x-1}$. Akan dicari invers dari fungsi $g$. Misalkan $g(x) = y$, maka diperoleh $\begin{aligned} y & = \dfrac{3x-1}{x-1} \\ (x-1)y & = 3x- 1 \\ xy-y- 3x & =-1 \\ x(y-3) & =-1 + y \\ x & = \dfrac{-1+y}{y-3} \\ g^{-1}(y) & = \dfrac{-1+y}{y-3} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{-1+x}{x-3} \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} (f \circ g^{-1})(x) & = 3 \\ f(g^{-1}(x)) & = 3 \\ f\left(\dfrac{-1+x}{x-3}\right) & = 3 \\ 2\sqrt{\dfrac{-1+x}{x-3} +\dfrac{1}{4}} & = 3 \\ \sqrt{\dfrac{-1+x}{x-3} + \dfrac{1}{4}} & = \dfrac{3}{2} \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ \dfrac{-1+x}{x-3} + \dfrac{1}{4} & = \dfrac{9}{4} \\ \dfrac{-1+x}{x-3} & = 2 \\ 1-x & = 2(x-3) \\-1+x & = 2x- 6 \\ x & = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi $(f \circ g^{-1})(x) = 3$ adalah $\boxed{5}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 20 Jika fungsi $f$ dan $g$ memiliki invers dan memenuhi $f(2x) = g(x-3)$, maka $f^{-1}(x) =\cdots \cdot$ A. $g^{-1}\left(\dfrac{x} {2}-\dfrac{2}{3}\right)$ B. $g^{-1}\left(\dfrac{x} {2}\right)-\dfrac{2}{3}$ C. $g^{-1}(2x+6)$ D. $2g^{-1}(x)-6$ E. $2g^{-1}(x) +6$

Diketahui: $f(2x) = g(x-3)$ Ini berarti, $f^{-1}(g(x-3)) = 2x$. Misalkan $g(x-3) = y$. Dengan demikian, $g^{-1}(y) = x- 3$, yang ekuivalen dengan $x = g^{-1}(y) + 3$ Untuk itu, dapat kita tuliskan $\begin{aligned} f^{-1}(g(x-3)) & = 2x \\ f^{-1}(y) & = 2(g^{-1}(y) + 3) \\ f^{-1}(x) & = 2g^{-1}(x) + 6 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $f^{-1}(x)$ adalah $\boxed{2g^{-1}(x) + 6}$ (Jawaban E)

Soal Nomor 21 Jika fungsi $f$ dan $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f(x+2) = g(x-3)$, maka $f^{-1}(x)= \cdots \cdot$ A. $g^{-1}(x)+5$ D. $g^{-1}(x-5)$ B. $g^{-1}(x+5)$ E. $g^{-1}(x)-5$ C. $g^{-1}(5x)$

Diketahui bahwa $f(x+2) = g(x-3)$. Persamaan ini ekuivalen dengan $f(x) = g(x-5)$. Misalkan $h(x) = x-5$, sehingga $h^{-1}(x) = x+5$. Dengan demikian, $f(x) = g(h(x)) = (g \circ h)(x)$ Akibatnya, $\begin{aligned} f^{-1}(x) & = (g \circ h)^{-1}(x) \\ & = (h^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = h^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(x) + 5 \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{f^{-1}(x) = g^{-1}(x) + 5}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 22 Jika diketahui $f(x) = \dfrac{1}{x+a}, g(x) = x^2+b$, dan $(f \circ g) (1) = \dfrac{1}{2}$, serta $(g \circ f) (1) = 2$, maka nilai dari $ab$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-1$ C. $\dfrac{1}{2}$ E. $2$ B. $0$ D. $\dfrac{3}{2}$

Dari persamaan $(f \circ g) (1) = \dfrac{1}{2}$, diperoleh $\begin{aligned} f(g(1)) & = \dfrac{1}{2} \\ f(1^2 + b) & = \dfrac{1}{2} \\ f(1 + b) & = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{(1 + b) + a} & = \dfrac{1}{2} \\ 1 + b + a & = 2 \\ a &= 1- b && (\cdots \cdot\cdot1) \end{aligned}$ Dari persamaan $(g \circ f) (1) = 2$, diperoleh $\begin{aligned} g(f(1)) & = 2 \\ g\left(\dfrac{1}{1+a}\right) & = 2 \\ \left(\dfrac{1}{1+a}\right)^2 + b & = 2 \\ \text{Substitusikan}~\text{pers.}~&1 \\ \left(\dfrac{1}{1+(1-b) }\right)^2 & = 2-b \\ \dfrac{1}{(2-b)^2} & = 2-b \\ (2- b)^3 & = 1 \\ b & = 1 \end{aligned}$ Untuk $b = 1$, diperoleh $a = 1-b = 1-1 = 0$, sehingga $ab = 0(1) = 0$ Jadi, nilai dari $ab$ adalah $\boxed{0}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 23 Dua fungsi $f$ dan $g$ memenuhi $\begin{cases} f(x) + g(x) = 3x+5 \\ f(x)-g(x) = 5x+7 \end{cases}$ untuk semua bilangan real $x$. Nilai $(f \circ g \circ f)(-1) = \cdots \cdot$ A. $-6$ C. $-3$ E. $6$ B. $-4$ D. $4$

Dengan menggunakan metode eliminasi pada penyelesaian SPLDV, diperoleh $\begin{aligned} \! \begin{aligned} f(x)+g(x) & = 3x+5 \\ f(x)-g(x) & = 5x + 7 \end{aligned} \\ \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2f(x) & = 8x + 12\\ f(x) & = 4x + 6 \end{aligned} \end{aligned}$ dan $\begin{aligned} \! \begin{aligned} f(x)+g(x) & = 3x+5 \\ f(x)-g(x) & = 5x + 7 \end{aligned} \\ \rule{4 cm}{0.6pt}- \\ \! \begin{aligned} 2g(x) & =-2x-2 \\ g(x) & =-x-1 \end{aligned} \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} (f \circ g \circ f)(-1) & = f(g(f(-1))) \\ & = f(g(4(-1)+6)) \\ & = f(g(2)) \\ & = f(-2-1) = f(-3) \\ & = 4(-3)+6 =-6 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{(f \circ g \circ f)(-1) =-6}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 24 (UM Undip 2019 Saintek Kode 324) Diberikan dua fungsi real $f(x) = x^2-2|x|$ dan $g(x) = x^2+1$. Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(f \circ g)(x) = 0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $1$ E. $3$ B. $0$ D. $2$

Diketahui: $f(x) = x^2-2|x|$ $g(x) = x^2+1$ Dengan demikian, $\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x^2+1) \\ & = (x^2+1)^2- 2|x^2+1| \end{aligned}$ Karena ekspresi $x^2+1$ definit positif untuk setiap $x$, maka tanda mutlak dapat langsung dihilangkan. Selanjutnya, kita peroleh $$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = (x^2+1)^2-2(x^2+1) \\ & = (x^2+1)((x^2+1)- 2) && (\text{difaktorkan}) \\ & = (x^2+1)(x^2-1) \end{aligned}$$Persamaan $(f \circ g)(x) = 0$, yakni $(x^2+1)(x^2-1) = 0$ hanya terpenuhi jika $x^2-1 = 0$, yaitu $x = \pm 1$. Dengan demikian, $x_1 + x_2 = 1 + (-1) = 0$ Jadi, jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(f \circ g)(x) = 0$ adalah $\boxed{0}$. (Jawaban B)

Soal Nomor 25 Diketahui suatu fungsi $f$ bersifat $f(-x) =-f(x)$ untuk setiap bilangan real $x$. Jika $f(3) =-5$ dan $f(-5) = 1$, maka $f(f(-3)) = \cdots \cdot$ A. $5$ C. $0$ E. $-5$ B. $1$ D. $-1$

Diketahui $f(-x) =-f(x), x \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $f(3) =-5$ ekuivalen dengan $-f(3) = 5$. Dengan menggunakan sifat fungsi $f$ di atas, diperoleh $\color{red}{f(-3) = 5}$. Karena $f(-5) = 1$, maka dengan menggunakan sifat fungsi $f$ di atas, diperoleh $-f(5) = 1$, ekuivalen dengan $\color{blue}{f(5) =-1}$. Dengan demikian, $\boxed{f(\color{red}{f(-3)}) = \color{blue}{f(5)} =-1}$ (Jawaban D)

Soal Nomor 26 Jika $f(2x+4) = x$ dan $g(3-x) = x$, maka nilai $f(g(1)) + g(f(2)) = \cdots \cdot$ A. $4$ C. $2$ E. $0$ B. $3$ D. $1$

Tinjau fungsi $g(3-x) = x$. $3-x$ harus bernilai $1$ sehingga kita tulis $3-x = 1 \Leftrightarrow x = 2$ Dengan demikian, $g(3-2) = \color{red}{g(1) = 2}$. Tinjau fungsi $f(2x+4) = x$. $2x+4$ harus bernilai $2$ sehingga kita tulis $2x+4 = 2 \Leftrightarrow x =-1$ Dengan demikian, $f(2(-1)+4) = \color{blue}{f(2) =-1}$. Tinjau fungsi $g(3-x) = x$. $3-x$ harus bernilai $-1$ sehingga kita tulis $3-x =-1 \Leftrightarrow x = 4$ Dengan demikian, $g(3-4) = \color{green}{g(-1) = 4}$. Untuk itu, kita dapatkan $\begin{aligned} f(\color{red}{g(1)}) + g(\color{blue}{f(2)}) & = \color{blue}{f(2)} + \color{green}{g(-1)} \\ & =-1+4 = 3 \end{aligned}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 27 Penghasilan per bulan seorang karyawan terdiri atas gaji pokok dan bonus penjualan. Gaji pokok karyawan tersebut adalah Rp4.500.000,00. Bonus penjualannya sebesar $g(x) = 5.000x$ rupiah dengan $x$ menyatakan banyaknya unit barang yang laku dijual olehnya selama sebulan. Jika $f(x)$ menyatakan penghasilan total karyawan tersebut, rumus invers $f$ adalah $\cdots \cdot$ A. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{5.000}x+900$ B. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{5.000}x-900$

C. $f^{-1}(x) = 900-\dfrac{1}{5.000}x$ D. $f^{-1}(x) =\dfrac{1}{900}x-5.000$ E. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{900}x+5.000$

Penghasilan total karyawan itu sama dengan gaji pokoknya ditambah bonus penjualan. Oleh karena itu, fungsi $f$ dinyatakan oleh $f(x) = 4.500.000 + 5.000x$. Misalkan $y = f(x)$, maka $\begin{aligned} y & = 4.500.000+5.000x \\ y-4.500.000 & = 5.000x \\ x & = \dfrac{y-4.500.000}{5.000} \\ x & = \dfrac{1}{5.000}y-900 \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{1}{5.000}x-900 \end{aligned}$ Jadi, invers dari fungsi $f$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{1}{5.000}x-900}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 28 Suatu pabrik tepung dengan bahan dasar beras $(x)$ memproduksi tepung beras melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan tepung beras setengah jadi $(y)$ dengan mengikuti fungsi $y = f(x) = \dfrac19x^2-x+5$. Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan tepung beras dengan fungsi $g(y) = 7y+3$, dengan $x, y$ dalam satuan ton. Jika beras yang tersedia untuk suatu produksi sebanyak $9$ ton, banyak tepung beras yang dihasilkan adalah $\cdots \cdot$ ton. A. $34$ C. $38$ E. $46$ B. $36$ D. $42$

Banyak tepung beras yang diproduksi bergantung kepada banyak beras yang tersedia. Diketahui: $y = f(x) = \dfrac19x^2-x+5$ dan $g(y) = 7y+3$. Berdasarkan aturan komposisi fungsi, diperoleh $\begin{aligned} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac19x^2-x+5\right) \\ & = 7\left(\dfrac19\color{red}{x}^2-\color{red}{x}+5\right)+3 \end{aligned}$ Karena banyak beras yang tersedia sebanyak $9$ ton, artinya $x = 9$, kita peroleh $\begin{aligned} (g \circ f)(9) & = 7\left(\dfrac19 \cdot \color{red}{9}^2-\color{red}{9}+5\right)+3 \\ & = 7(9-9+5)+3 \\ & = 7(5) + 3 = 38 \end{aligned}$ Jadi, banyak tepung beras yang dihasilkan adalah $\boxed{38}$ ton. (Jawaban C)

Soal Nomor 29

Nilai $(n)$ peserta diklat dipengaruhi oleh keaktifan selama kegiatan di dalam kelas, ditentukan oleh rumus $n(A)=\dfrac{3A+22}{4}$. Keaktifan peserta diklat bergantung pada banyaknya program kegiatan ($P$), ditentukan oleh rumus $A(P) = 4P+6$. Jika Denih adalah seorang peserta diklat yang mampu melaksanakan $80\%$ dari $25$ kegiatan yang ada dalam diklat tersebut, maka nilai yang diperoleh Denih adalah $\cdots \cdot$ A. $60$ C. $70$ E. $80$

B. $65$ D. $75$

Masalah di atas melibatkan dua fungsi yang saling terkait. Fungsi komposisi yang terbentuk oleh masalah di atas adalah $(n \circ A)(P) = n(A(P))$, yang merepresentasikan nilai yang didapat peserta diklat. Perhatikan bahwa $80\%$ dari $25$ kegiatan yang diikuti berarti sebanyak $80\% \times 25 = \dfrac{80}{\cancelto{4}{100}} \cdot \cancel{25} = 20$ kegiatan. Artinya, $P = 20$. Dengan demikian, kita peroleh $\begin{aligned} n(A(P)) & = n(4P + 6) \\ & = \dfrac{3(4P+6)+22}{4} \\ & = \dfrac{12P + 40} {4} \\ & = 3P + 10 \\ n(A(20)) & = 3(20) + 10 = 70 \end{aligned}$ Jadi, nilai yang didapat Denih adalah $\boxed{70}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 30 Untuk mencetak $x$ eksemplar novel dalam sehari, diperlukan $f(x) = \dfrac{1}{500}(x+100)$ unit mesin cetak. Padahal jika digunakan $x$ unit mesin cetak, biaya perawatan harian yang harus dikeluarkan adalah $g(x) = 10x + 5$ (dalam ribuan rupiah). Jika pengeluaran untuk perawatan mesin hari ini sebesar Rp65.000,00, maka banyak eksemplar novel yang dicetak adalah $\cdots \cdot$ A. $(g^{-1} \circ f^{-1})(65)$ D. $(g \circ f)(65)$ B. $(f^{-1} \circ g^{-1})(65)$ E. $(f \circ g)(65)$ C. $(f \cdot g)(65)$

Pengeluaran untuk perawatan mesin sebesar Rp65.000,00 (ditulis $65$, karena menggunakan satuan ribu rupiah) dan diketahui biaya perawatannya ditentukan oleh $g(x) = 10x + 5$ untuk $x$ banyak mesin cetak. Untuk itu, harus dicari invers dari $g(x)$ terlebih dahulu, yaitu $g^{-1}(x) = \dfrac{x-5}{10}$ Substitusi $x = 65$ untuk mendapati $g^{-1}(x) = \dfrac{65-5}{10} = 6$ Jadi, banyak mesin cetaknya ada $6$ unit. Untuk mencetak $x$ eksemplar novel dalam sehari, diperlukan $f(x) = \dfrac{1}{500}(x+100)$ unit mesin cetak. Karena diperoleh ada $6$ unit mesin cetak, maka perlu ditentukan invers $f(x)$ terlebih dahulu, yaitu $f^{-1}(x) = 500x-100$ Untuk $x = 6$, diperoleh $f^{-1}{x} = 500(6)-100 = 2.900$ Artinya, novel yang dicetak sebanyak $2.900$ eksemplar. Jadi, notasi komposisi fungsi yang tepat untuk menentukan banyaknya eksemplar novel yang dicetak adalah $\boxed{(f^{-1} \circ g^{-1}) (65)}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 31 Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan kertas jadi. Dalam produksinya, mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi $f(x) = 2x-1$ dan mesin II mengikuti fungsi $g(x)=x^2-3x$, dengan $x$ merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. Fungsi yang menyatakan jumlah kertas yang dihasilkan oleh produksi tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $h(x) = 2x^2-6x-1$ B. $h(x) = 2x^2-6x-7$ C. $h(x) = 4x^2-10x+3$ D. $h(x) = 4x^2-10x+4$ E. $h(x) = 4x^2-10x+7$

Diketahui: $f(x) = 2x-1$ dan $g(x) = x^2-3x$. Ini berarti, $\begin{aligned} h(x) & = (g \circ f)(x) = g(f(x)) \\ & = g(2x-1) \\ & = (2x-1)^2-3(2x-1) \\ & = (4x^2-4x+1)-6x+3 \\ & = 4x^2-10x+4 \end{aligned}$ Jadi, fungsi yang menyatakan jumlah kertas yang dihasilkan oleh produksi tersebut adalah $\boxed{h(x)=4x^2-10x+4}$ (Jawaban D)

Bagian Esai

Soal Nomor 1 Misalkan fungsi $f, g$, dan $h$ dinyatakan dalam bentuk pasangan berurut sebagai berikut: $\begin{aligned} f & = \{(-6, 4), (3, 3), (2,5), (8, 1)\} \\ g & = \{(-4,-6),(2,3),(3,2),(7,8)\} \\ h & = \{(0,-4), (1,2),(2,3),(3,7)\} \end{aligned}$ Tentukan fungsi-fungsi berikut dalam bentuk pasangan berurut. a. $(g \circ h)$ b. $(f \circ g)$ c. $(f \circ (g \circ h))$ d. $((f \circ g) \circ h)$

Jawaban a) Diagram panah fungsi komposisi $(g \circ h)$ ditunjukkan oleh gambar berikut. Jadi, $(g \circ h) = \{(0,-6), (1, 3), (2, 2), (3,8)\}$ Jawaban b) Diagram panah fungsi komposisi $(f \circ g)$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $(f \circ g) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}$ Jawaban c) Diagram panah fungsi komposisi $(f \circ (g \circ h))$ ditunjukkan oleh gambar berikut. Jadi, $(f \circ (g \circ h)) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}$ Jawaban d) Diagram panah fungsi komposisi $((f \circ g) \circ h)$ ditunjukkan oleh gambar berikut. Jadi, $((f \circ g) \circ h) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}$

Soal Nomor 2 Diketahui $(f \circ g)(x) = 9x^2-12x + 5$. Tentukan: a. $f(x)$ jika $g(x) = 3x-1$ b. $g(x)$ jika $f(x) = 3x-1$

Jawaban a) $\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(g(x)) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(3x-1) & = 9x^2-12x + 5 \end{aligned}$ Misalkan $y = 3x-1$, berarti $x = \dfrac{y+1}{3}$. Dengan demikian, dapat ditulis $$\begin{aligned} f(3x-1) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(y) & = 9\left(\dfrac{y+1}{3}\right)^2-\cancelto{4}{12}\left(\dfrac{y+1}{\cancel{3}}\right) + 5 \\ f(y) & = \cancel{9}\left(\dfrac{(y+1)^2}{\cancel{9}}\right)-4(y + 1) + 5 \\ f(y) & = (y^2 + 2y + 1)-4y-4+ 5 \\ f(y) & = y^2-2y \\ f(x) & = x^2-2x \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f(x) = x^2-2x}$ Jawaban b) $\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(g(x)) & = 9x^2-12x + 5 \\ 3g(x)-1 & = 9x^2-12x + 5 \\ 3g(x) & = 9x^2-12x + 6 \\ g(x) & = \dfrac{9x^2-12x+6}{3} \\ & = 3x^2-4x+2 \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{g(x) = 3x^2-4x + 2}$

Soal Nomor 3 Diketahui $(f \circ g)(x) = x^2-5x + 10$. Tentukan: a. $f(x)$ jika $g(x) = x-3$ b. $g(x)$ jika $f(x) = x-3$

Jawaban a) $\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = x^2-5x + 10 \\ f(g(x)) & = x^2-5x + 10 \\ f(x- 3) & = x^2-5x + 10 \end{aligned}$ Misalkan $y = x-3$, berarti $x = y + 3$. Dengan demikian, dapat ditulis $\begin{aligned} f(x-3) & = x^2-5x + 10 \\ f(y) & = (y + 3)^2-5(y + 3) + 10 \\ f(y) & = (y^2 + 6y + 9)-5y-15 + 10 \\ f(y) & = y^2 + y + 4 \\ f(x) & = x^2 + x + 4\end{aligned}$ Jadi, $\boxed{f(x) = x^2 + x + 4}$ Jawaban b) $\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = x^2-5x + 10 \\ f(g(x)) & = x^2-5x + 10 \\ g(x)-3 & = x^2-5x + 10 \\ g(x) & = x^2-5x + 13 \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{g(x) = x^2-5x + 13}$

Soal Nomor 4 Jika $f(x) = 3x-5, g(x) = \dfrac{1}{x-2}$, dan $h(x)=x^2+4$, tentukan $(g \circ f \circ h)(x)$ dan $(h \circ f \circ g)(x)$.

Akan ditentukan rumus fungsi dari $(g \circ f \circ h)(x)$. $$\begin{aligned} (f \circ h)(x) & = f(h(x)) \\ & = f(x^2 + 4) \\ & = 3(x^2 + 4)-5 && (\bigstar f(x) = 3x-5) \\ & = 3x^2 + 7 \end{aligned}$$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} (g \circ f \circ h)(x) & = g((f \circ h)(x)) \\ & = g(3x^2 + 7) \\ & = \dfrac{1}{(3x^2+7)-2} && \left(\bigstar g(x) = \dfrac{1}{x-2}\right) \\ & = \dfrac{1}{3x^2+5} \end{aligned}$$ Jadi, $\boxed{(g \circ f \circ h)(x) = \dfrac{1}{3x^2+5}}$ Selanjutnya, akan ditentukan rumus fungsi dari $(h \circ f \circ g)(x)$. $$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left(\dfrac{1}{x-2}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{1}{x-2}\right)-5 && (\bigstar f(x) = 3x-5) \\ & = \dfrac{3}{x-2}- \dfrac{5(x-2)}{x-2} \\ & = \dfrac{-5x + 13}{x-2} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} (h \circ f \circ g)(x) & = h((f \circ g)(x)) \\ & = h\left(\dfrac{-5x + 13}{x-2}\right) \\ & = \left(\dfrac{-5x+13}{x-2}\right)^2 + 4 \\ & = \dfrac{(-5x + 13)^2}{(x-2)^2} + \dfrac{4(x-2)^2}{(x-2)^2} \\ & = \dfrac{25x^2- 130x + 169 + 4x^2-16x + 16}{(x-2)^2} \\ & = \dfrac{29x^2-146x + 185}{(x-2)^2} \end{aligned}$$ Jadi, $\boxed{(h \circ f \circ g)(x) = \dfrac{29x^2-146x + 185}{(x-2)^2}}$

Soal Nomor 5 Tentukan $(f \circ h \circ g)(x)$ dan $(g \circ f \circ h)(x)$ jika $f(x) = \dfrac{1}{x^2-1}, g(x) = \dfrac{3}{x+2}$, dan $h(x) = \dfrac{1}{x-5}$.

Akan ditentukan rumus fungsi dari $(f \circ h \circ g)(x)$. $\begin{aligned} (h \circ g)(x) & = h\left(\dfrac{3}{x+2}\right) \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{3}{x+2}-5} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{5(x+2)}{x+2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{-5x-7}{x+2}} \\ & = \dfrac{x + 2}{-5x-7} \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} (f \circ h \circ g)(x) & = f((h \circ g)(x)) \\ & = f\left(\dfrac{x + 2}{-5x-7}\right) \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{x + 2}{-5x-7}\right)^2-1} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{(x+2)^2}{(-5x-7)^2}-\dfrac{(-5x-7)^2}{(-5x-7)^2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{x^2 + 4x + 4-25x^2-70x- 49}{25x^2 + 70x + 49}} \\ & = \dfrac{25x^2 + 70x + 49}{-24x^2-66x-45} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(f \circ h \circ g)(x) = \dfrac{25x^2 + 70x + 49}{-24x^2-66x- 45}}$ Akan ditentukan rumus fungsi dari $(g \circ f \circ h)(x)$. $\begin{aligned} (f \circ h)(x) & = f(h(x)) \\ & = f\left(\dfrac{1}{x-5}\right) \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x-5}\right)^2-1} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{1}{(x-5)^2}- \dfrac{(x-5)^2}{(x-5)^2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{1-x^2 + 10x- 25}{x^2-10x + 25}} \\ & = \dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24} \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} (g \circ f \circ h)(x) & = g((f \circ h)(x)) \\ & = g\left(\dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24}\right) \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{x^2- 10x + 25}{-x^2 + 10x-24} + 2} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24} + \dfrac{2(-x^2 + 10x-24)}{-x^2 + 10x-24}} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{-x^2 + 10x-23}{-x^2 + 10x-24}} \\ & = \dfrac{-3x^2 + 30x-72}{-x^2 + 10x- 23} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(g \circ f \circ h)(x) = \dfrac{-3x^2 + 30x-72}{-x^2 + 10x-23}}$

Soal Nomor 6 Tentukan $(f \circ g \circ g)(x)$ jika $f(x) = x^2+2$ dan $g(x) = 5x-1$.

Diketahui $f(x) = x^2 + 2$ dan $g(x) = 5x-1$ $\begin{aligned} (f \circ g \circ g)(x) & = f(g(g(x))) \\ & = f(g(5x-1)) \\ & = f(5(5x-1)- 1) \\ & = f(25x-6) \\ & = (25x-6)^2 + 2 \\ & = 625x^2-300x + 38 \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{(f \circ g \circ g)(x) = 625x^2-300x + 38}$

Soal Nomor 7 Diketahui fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dan $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dengan $f(x) = x + 2, g(x) = 3-2x$, dan $h(x)=x^2+3x-4$. Tentukan $x$ jika: a. $(h \circ f \circ g)(x) = 6$; b. $(g \circ h \circ f)(x) = 11$.

Jawaban a) $\begin{aligned} (h \circ f \circ g)(x) & = 6 \\ h(f(g(x))) & = 6 \\ h(f(3-2x)) & = 6 \\ h(3-2x + 2) & = 6 \\ h(5- 2x) & = 6 \\ (5-2x)^2 + 3(5-2x)-4 & = 6 \\ 4x^2- 20x + 25 + 15-6- 4 & = 6 \\ 4x^2-26x + 30 & = 0 \\ 2x^2-13x + 15 & = 0 \\ (2x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $2x- 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$ atau $x = 5$. Jawaban b) $\begin{aligned} (g \circ h \circ f)(x) & = 11 \\ g(h(f(x))) & = 11 \\ g(h(x + 2)) & = 11 \\ g((x+2)^2 + 3(x + 2)-4) & = 11 \\ g(x^2 + 7x + 6) & = 11 \\ 3-2(x^2 + 7x + 6) & = 11 \\-2x^2-14x-20 & = 0 \\ x^2 + 7x + 10 & = 0 \\ (x + 2)(x + 5) & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $x =-2$ atau $x =-5$

Soal Nomor 8 Diketahui $f: x \mapsto \mathbb{R}$ (baca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke himpunan bilangan real) dengan $f(x) = 5^{2x} +3$. Tentukan invers fungsi $f(x)$.

Ingat konsep logaritma dan invers berikut. $\boxed{\begin{aligned} & ^a \log x = b \Rightarrow a^b = x \\ & ^a \log x^n = n. ^a \log x \\ & f(x) = y \Rightarrow f^{-1}(y) = x \end{aligned}}$ Misalkan $f(x) = y$, maka dapat ditulis $\begin{aligned} y & = 5^{2x} +3 \\ 5^{2x} & = y-3 \\ ^5 \log (y- 3)& = 2x \\ x & = \dfrac{1}{2}(^5 \log (y-3)) \\ x & = ^5 \log (y-3)^{\frac{1}{2}} \\ f^{-1}(y) & = ^5 \log \sqrt{y-3}\\ f^{-1}(x) & = ^5 \log \sqrt{x-3} \end{aligned}$ Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = ^5 \log \sqrt{x-3}} $

Soal Nomor 9 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$) Misalkan $f(x) = ax+b$ dengan $a \neq 0$ dan $g(x) = cx + d$ dengan $c \neq 0$. a) Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar $f$ merupakan invers $g$. b) Tentukan nilai $c$ dan $d$ agar $g$ merupakan invers $f$.

Jawaban a) Akan dicari invers fungsi $g$ sebagai berikut. $\begin{aligned} g(x) & = cx + d \\ \text{Misalkan}~&~g(x) = y \\ y & = cx + d \\ y-d & = cx \\ x & = \dfrac{y-d} {c} \\ g^{-1}(y) & = \dfrac{y-d} {c} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{x-d} {c} \end{aligned}$ Agar $f$ menjadi invers $g$, maka haruslah $\begin{aligned} f(x) & = g^{-1}(x) \\ ax + b & = \dfrac{x-d} {c} \\ ax + b & = \dfrac{1} {c}x-\dfrac{d} {c} \end{aligned}$ Persamaan terakhir mengharuskan $a = \dfrac{1}{c}$ dan $b =-\dfrac{d} {c}$ agar $f$ menjadi invers $g$. Jawaban b) Akan dicari invers fungsi $f$ sebagai berikut. $\begin{aligned} f(x) & = ax + b \\ \text{Misalkan}~&~f(x) = y \\ y & = ax + b \\ y-b & = ax \\ x & = \dfrac{y-b} {a} \\ f^{-1}(y) & = \dfrac{y-b} {a} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{x-b} {a} \end{aligned}$ Agar $g$ menjadi invers $f$, maka haruslah $\begin{aligned} g(x) & = f^{-1}(x) \\ cx + d & = \dfrac{x-b} {a} \\ cx + d & = \dfrac{1} {a}x-\dfrac{b} {a} \end{aligned}$ Persamaan terakhir mengharuskan $c = \dfrac{1}{a}$ dan $d =-\dfrac{b} {a}$ agar $g$ menjadi invers $f$.

Soal Nomor 10 Diberikan fungsi $(f \circ g) (x)$ untuk beberapa titik dengan aturan: $(f \circ g)(3)= a, (f \circ g) (-2)= b, (f \circ g) (5) = c$, dan $(f \circ g) (9)= d$ dan formula fungsi $g(x) = x +1$. Tentukanlah nilai fungsi $f(x)$ untuk $x =-1, 4, 6, 10$.

Diberikan $g(x) = x + 1$. Dengan demikian, $\begin{aligned} (f \circ g) (3) & = a \\ f(g(3)) & = a \\ f(3 + 1) & = a \\ f(4) & = a \end{aligned}$ Dengan prinsip yang sama, didapat $\begin{aligned} & (f \circ g) (-2) = b \Rightarrow f(-1) = b \\ & (f \circ g) (5) = c \Rightarrow f(6) = c \\ & (f \circ g) (9) = d \Rightarrow f(10) = d \end{aligned}$ Jadi, nilai fungsi $f(x)$ untuk $x =-1, 4, 6, 10$ berturut-turut adalah $b, a, c$, dan $d$.

Soal Nomor 11 Diketahui $f(x) = x^2-1$ dan $g(x) = ^5 \log x$, tentukan nilai dari $(f \circ g)^{-1}(3)$ dan $(f \circ g)^{-1}(3)$.

Menentukan $(f \circ g)^{-1}(3)$

$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(^5 \log x) \\ & = (^5 \log x)^2- 1 \end{aligned}$ Dengan demikian,

$(f \circ g)^{-1}((^5 \log x)^2-1) = x$

Untuk $(^5 \log x)^2-1 = 3$, diperoleh $\begin{aligned} (^5 \log x)^2 & = 4 \\ ^5 \log x & = 2 \\ x & = 25 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $(f \circ g)^{-1}(3) = 25$ Menentukan $(g \circ f)^{-1}(3)$

$\begin{aligned} (g \circ f) (x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2-1) \\ & = ^5 \log (x^2-1) \end{aligned}$ Dengan demikian,

$\begin{aligned} (g \circ f)^{-1}(^5 \log (x^2-1)) = x \end{aligned}$

Untuk $^5 \log (x^2-1) = 3$, diperoleh $\begin{aligned} x^2-1 & = 5^3 \\ x^2 & = 126 \\ x & = \pm \sqrt{126} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $(g \circ f)^{-1}(3) = \pm \sqrt{126}$.

Soal Nomor 12 Suatu pabrik kain berbahan dasar kapas memproduksi kain melalui dua tahap. Tahap pertama dengan bahan dasar kapas menggunakan mesin I menghasilkan benang bahan kain yang banyaknya dinyatakan dengan $\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right)$, kemudian bahan dasar benang diproses pada tahap selanjutnya menggunakan mesin II menghasilkan kain yang banyaknya dinyatakan dengan $\left(\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}\right)$, dengan $x$ merupakan banyak bahan yang diproses oleh mesin dalam satuan ton.

Dengan memisalkan mesin I menghasilkan bahan benang dengan fungsi $f$ dan mesin II menghasilkan kain dengan fungsi $g$, tuliskan fungsi $h$ sebagai komposisi $f$ dan $g$ dari masalah di atas dalam variabel $x$.
Dengan menggunakan fungsi $h$ yang didapat dari jawaban a, tentukan banyak kain yang dihasilkan pabrik tersebut jika bahan dasar kapas yang tersedia untuk produksi sebanyak $10$ ton.

Jawaban a) Diketahui: $f(x) = \dfrac{1}{5}x^2 + x$ dan $g(x) = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} h & = (g \circ f)(x) = g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right) \\ & = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right) + \dfrac{1}{5} \\ & = \dfrac{3}{20}x^2 + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5} \end{aligned}$ Jadi, fungsi $h$ dinyatakan oleh rumus $\boxed{h(x) = \dfrac{3}{20}x^2 + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}}$ Jawaban b) Untuk $x = 10$, diperoleh $\begin{aligned} h(10) & = \dfrac{3}{20}(10)^2 + \dfrac{3}{4}(10) + \dfrac{1}{5} \\ & = \dfrac{3}{\cancel{20}}(\cancelto{5}{100}) + \dfrac{15}{2} + \dfrac{1}{5} \\ & = 15 + 7,5 + 0,2 = 22,7 \end{aligned}$ Jadi, banyaknya kain yang dihasilkan pabrik tersebut adalah $\boxed{22,7~\text{ton}}$